Clifford algebra in general relativity and higher dimensions

Abstract

Las formas diferenciales y el cálculo tensorial estándar son dos sistemas matemáticos complementarios, básicos en la teoria de la relatividad general y en muchas otras teorías físicas. En esta tesis se presenta el álgebra de Clifford como una tercera herramienta matemática, útil en los cálculos y razonamientos que involucran campos tensoriales, complementando tanto el cálculo tensorial como el de formas exteriores. La estructuración de los tensores como multivectores r-fold es siempre posible y constituye la estructura base sobre la cual se define el álgebra r-fold de Clifford, y que reune conceptos propios de los tres sistemas. La tesis presenta dos aplicaciones de esta estructura de marcado interés físico. La primera es la clasificación de Petrov del tensor conforme de Weyl. Se obtiene una generalización de la identidad de Lanczos válida para dimensión par y se introduce un método original para la clasificación del tensor de Weyl en dimensión 6. Se estudian las propiedades básicas de esta clasificación en cada una de las posibles signaturas. La segunda aplicación parte de la reformulación del proceso algébrico introducido por Senovilla para la definición de tensores de superenergía. El álgebra r-fold de Clifford permite una remarcable simplificación en su expresión y en la demostración de su positividad, y la obtención de resultados nuevos importantes en relación a sus propiedades de conservación local y de simetría. También se obtiene una generalización del concepto de direcciones isótropas principales. La tesis también presenta una clasificación completa de la descomposición, invariante para el grupo ortogonal, de los dobles multivectores, basada en las funciones internas de traza y cotraza. Diversas identidades son obtenidas, entre ellas la precursora de la generalización de la identidad de Lanczos.