La ecuación de beltrami generalizada y otras ecuaciones elípticas

Laburpena

En este trabajo, nos centraremos en cuestiones de regularidad sobre las soluciones de los sistemas del tipo divA(x, Du(x)) = divG. En general, asumimos que A : Rn × Rn×n → Rn×n satisface ciertas condiciones de acotaci ́on y elipticidad, y que G pertenece a un espacio de funciones adecuado. Para alcanzar nuestro resultados, iremos desgranando poco a poco el Sistema en Forma de Divergencia anterior. En un primer momento, nos limitaremos al caso n = 2 y lineal con respecto a la variable del gradiente. En tal caso podemos interpretar el sistema como una Ecuaci ́on de Beltrami Generalizada ∂f = μ∂f + ν∂f + h , en el plano complejo. Esto nos permitir ́a estudiar el problema mediante herramientas del An ́alisis Complejo. Por contra, si n > 2 no podemos resumirnos al plano complejo y trabajaremos en Rn. Por ello, estudiaremos el problema A(x, ξ) no lineal mediante el herramientas cl ́asicas de EDPs y de ana ́lisis arm ́onico. En el caso de la Ecuaci ́on de Beltrami Generalizada veremos que si μ, ν pertenecen a W 1,p (C) y h ∈ W1,s(C), entonces tenemos que loc f ∈ Lrloc(C) 􏰖 2,s ∂f=μ∂f+ν∂f+h =⇒ f∈Wloc (C) c para ciertos valores p, r y s. Adem ́as, estudiamos la funcio ́n log (∂φ) donde φ ∈ W 1,2 (C) es un loc homeomorfismo soluci ́on de la Ecuaci ́on de Beltrami Generalizada Homog ́enea (es decir, h = 0) cuando los coeficientes tienen una regularidad Sobolev y Sobolev Fraccionaria. Concretamente alcanzamos la implicaci ́on μ, ν ∈ Wα,p (C) =⇒ log(∂φ) ∈ Wα,s (C) c paraalgunosvaloresp≥s>1siα=1yp=s= 2 siα<1. α Cuando pasamos a dimensiones superiores (Rn con n ≥ 2) primero estudiamos el sistema divA(x, Du(x)) = 0 donde supondremos que la aplicacio ́n x → A(x, ξ) es de tipo de Besov o de Triebel-Lizorkin. En este caso llegaremos a demostrar que existe un nu ́mero p0 = p0 (n, σ, l) para el que se cumple que x→A(x,ξ)∈Fnα (Ω) local =⇒ Du∈Bα (Ω) local α,∞ p,∞ x→A(x,ξ)∈Bαn (Ω) local =⇒ Du∈Bα (Ω) local α,q p,q para toda 2 ≤ p ≤ m ́ın{n,p0} donde u ∈ W1,2 (Ω) es cualquier solucio ́n d ́ebil de del sistema α loc homog ́eneo. Posteriormente pasaremos a tratar el caso no homog ́eneo. Aqu ́ı, la situacio ́n cambia dra ́ticamente ya que aparecen ciertas dificultades en el ́ındice q. En este caso, hemos demostrado que si x → A(x,ξ) ∈ Bαn (Ω) local, entonces toda u ∈ W1,2 (Ω) soluci ́on d ́ebil del sistema no α,q loc homog ́eneo cumple la implicacio ́n G ∈ Bα =⇒ Du ∈ Bα p,q p,q para toda p ∈ 􏰏ma ́x{p′ , nq },m ́ın{n,p }􏰐. Adema ́s, nuestros argumentos demostrar ́an que la 0 n+αq α 0 restriccio ́n p < m ́ın{n,p0} puede relajarse hasta p < n cuando A es lineal en la variable del αα gradiente. Mas au ́n, las tres u ́ltimas implicaciones son ́optimas en el sentido de que no podemos esperar Du ∈ Bβ para alguna β > α.