Structured perturbation theory for eigenvalues of symplectic matrices

Resumen

En este trabajo se desarrolla una teoría de perturbación de autovalores de matrices simplécticas frente a perturbaciones que preservan la simplecticidad de la matriz. Dado que la clase de matrices simplécticas tiene una estructura multiplicativa subyacente, las fórmulas clásicas de Lidskii para perturbaciones aditivas pequeñas no se pueden aplicar de manera directa, de modo que desarrollamos una nueva teoría de perturbación multiplicativa: dada cualquier matriz cuadrada A, obtenemos el término director del desarrollo asintótico en el parámetro real (y pequeño) de autovalores de perturbaciones multiplicativas de A. El análisis se separa en dos casos complementarios, dependiendo de que el autovalor a perturbar sea nulo o no. Se demuestra que en ambos casos los exponentes directores se obtienen a partir de las multiplicidades parciales del autvalor bajo estudio, y que los coeficientes directores solo involucran genéricamente autovectores derechos e izquierdos adecuadamente normalizados, sin necesidad de autovalor generalizado alguno. Debe señalarse que, aunque inicialmente motivados por la necesidad para el caso simpléctico, esta teoría (no estructurada) de perturbación multiplicativa reviste interés por ser independientemente de su aplicación al caso simpléctico. Tras mostrar que cualquier perturbación estructurada pequeña de una matriz simpléctica S, puede escribirse de forma multiplicativa con coeficiente de primer orden Hamiltoniano, aplicamos las fórmulas tipo Lidskii obtenidas para perturbaciones multiplicativas al caso simpléctico, explotando la particular conexión que la estructura simpléctica induce entre los autovectores derechos e izquierdos normalizados por la forma de Jordan. Especial atención se le dedica a los autovalores sobre el círculo unidad, particularmente a los autovalores excepcionales 1, cuyo comportamiento frente a perturbaciones estructuradas es sabido que difiere significativemente del comportamiento frente a perturbaciones arbitrarias. Además, presentamos varios ejemplos numéricos que ilustran (y confirman) los desarrollos asintóticos obtenidos.