Spin(7) structures, spinors and nilmanifolds

Resumen

Esta tesis aborda varios problemas en el área de las estructuras geométricas, y se divide en dos partes. En la primera, describimos las estructuras Spin(7) desde el punto de vista de la teoría de espinores, en la segunda desarrollamos técnicas de resolución de orbifolds simplécticos y con estructura G_2 cerrada. La presencia de una estructura Spin(7) en una variedad Riemanniana orientada de dimensión 8 equivale a la existencia de una estructura espín en la misma, junto con la de un espinor positivo nunca nulo. De hecho, este espinor determina la estructura Spin(7). En el capítulo 1 de la tesis establecemos las bases del formalismo espinorial para las estructuras Spin(7), expresando la clasificación desarrollada por M. Fernández en términos de ecuaciones en derivadas parciales sobre el espinor que determina la estructura. Asimismo, introducimos el concepto de distribución G_2 en variedades con estructura Spin(7), que unifica varias situaciones geométricas que involucran estructuras G_2 y Spin(7). Como aplicación determinamos las álgebras de Lie cuasi-abelianas nilpotentes que tienen estructuras Spin(7) de tipo balanced. En el capítulo 2 aprovechamos el enfoque espinorial para construir estructuras Spin(7) de tipo balanced en nilvariedades producto N x T, donde N es una nilvariedad de dimensión 6 y T es un 2-toro. Dado que el espinor asociado a una estructura Spin(7) balanced es armónico, nuestra búsqueda nos lleva a definir las estructuras espín armónicas. Estas son estructuras geométricas en dimensiones 5, 6, 7 y 8, y están determinadas por un espinor armónico nunca nulo. Están asociadas a los grupos SU(2), SU(3), G_2 y Spin(7) según la dimensión de la variedad. Describimos las estructuras espín armónicas en términos de las torsiones de la estructura geométrica y obtenemos una clasificación de álgebras de Lie nilpotentes de dimensión 5 y 6 que admiten tales estructuras. La resolución de orbifolds con estructura simpléctica o de tipo G_2 cerrada nos permite obtener variedades con dichas estructuras geométricas. Normalmente, los orbifolds son cocientes globales de una variedad bajo la acción de un grupo finitos de difeomorfismos. Algunas propiedades topológicas de la resolución, tales como el grupo fundamental o los grupos de cohomología, se deducen de las propiedades del orbifold y del lugar singular. En el capítulo 3 elaboramos un método de resolución de orbifolds simplécticos compactos de dimensión 4 empleando técnicas clásicas de resolución de singularidades algebraicas y de pegado de forma simplécticas. En el capítulo 4 construimos una variedad compacta no formal con b_1 = 1 dotada de una estructura G_2 cerrada y probamos que esta no admite ninguna métrica con holonomía contenida en G_2. El orbifold de partida es el cociente global de una nilvariedad con una estructura G_2 cerrada por la acción del grupo Z_2. Para realizar esta construcción desarrollamos un método de resolución de orbifolds cociente M/Z_2, donde M es una variedad G_2 cerrada cuando el lugar singular es el mapping torus de una superficie.