The causal boundary of a spacetime and new boundaries in differential geometry

Abstract

RESUMEN: El problema de añadir un borde a un espacio-tiempo que represente sus propiedades principales ha sido una de las cuestiones más controvertidas en los cuatro últimos decenios dentro de la Geometría de Lorentz. Esto queda reflejado en la diversidad de construcciones propuestas por diferentes autores (borde abstracto, borde geodésico...), de las cuales han destacando principalmente las construcciones de borde conforme y de borde causal, siendo esta última el objeto principal de la presente memoria. Desde su introducción en el trabajo original de Geroch, Kronheimer y Penrose, la construcción de borde causal ha presentado dos problemas importantes. Por un lado, la definición de borde causal no era totalmente satisfactoria a todos los niveles (como conjunto de puntos y con sus estructuras cronológica y topológica). En esta tesis hemos presentado condiciones bajo las cuales un borde causal puede considerarse admisible, lo cual nos ha permitido finalmente llegar a una definición totalmente satisfactoria de borde causal. Por otro lado, la computación del borde causal para espacio-tiempos de interés puede resultar un problema extremadamente complicado. Para solventar ese problema, hemos desarrollado diversas herramientas que permiten el cálculo del borde causal en numerosos casos. Estas herramientas pueden englobarse en los dos siguientes bloques: Relación entre el borde conforme y el borde causal Hemos desarrollado un estudio comparativo entre nuestra noción de borde causal y el (más comunmente usado) borde conforme por dos motivos. En primer lugar, para determinar la consistencia entre ambos bordes. Este trabajo es esencial, ya que, aunque el borde conforme es aplicable sólo a un número muy limitado de casos, muchas de las redefiniciones clásicas del borde causal fueron rechazadas por no coincidir con el borde conforme en algunos ejemplos concretos (el borde conforme aparecía como la única elección obvia y natural). Más aún, hemos mostrado cómo el borde causal permite formalizar rigurosamente afirmaciones asociadas al borde conforme que han sido implícitamente asumidas en la literatura. Para ello, hemos proporcionado condiciones generales bajo las cuales se puede asegurar que la parte accesible del borde conforme (aquella alcanzable por curvas temporales) y el borde causal coinciden, estudiando detalladamente los casos donde dichas condiciones no se satisfacen. Esto nos ha permitido calcular el borde causal a partir del conforme, en los casos en que éste resulta natural y bien conocido. Borde causal en espacio-tiempos estándares estacionarios Inspirados por el trabajo de Harris para el caso estático, hemos calculado de forma sistemática el borde causal de los espacio-tiempos estacionarlos estándares, determinando su estructura como conjunto de puntos y sus estructuras cronológica y topológica. Para ello, hemos desarrollado con toda generalidad en Geometría Finsleriana conceptos como la completación de Cauchy y la compactificación de Gromov (conocidos en Geometría Riemanniana, el último al menos en el caso completo). Más aún, la correspondencia entre espacio-tiempos estacionarios y variedades de Finsler nos ha permitido definir una nueva compactificación para estas últimas, la denominada completación de Busemann. Finalmente, hemos explorado las posibles relaciones entre el borde causal y el concepto de isocausalidad. En este sentido, hemos aportado un ejemplo que, si bien presenta dos espacio-tiempos isocausales con bordes diferentes, sugiere que la isocausalidad puede ser útil tanto para un mejor entendimiento como para la computación del borde causal.