Cálculo simbólico y técnicas de control de A∞-estructuras

Resumen

Mostramos aquí diversos aspectos importantes relacionados con el estudio de las A∞-estructuras, las cuales juegan un papel importante en la Topología Algebraica tal y como se aborda hoy en día. En particular centramos nuestro estudio en el comportamiento de dichas estructuras frente a productos tensoriales, a pequeñas modificaciones en los datos originales dando lugar a perturbaciones de alguna de las diferenciales, etc. De hecho, podemos dividir la memoria en tres secciones bien diferenciadas: - En la primera, que engloba al capítulo dos y cuatro, demostramos sendos teoremas que confirman que las A∞-estructuras forman en sí mismas una categoría y no deben ser consideradas exclusivamente como una categoría derivada. Además en la misma sección dualizamos para conjuntos cosimpliciales un extenso trabajo realizado por S. Eilenberg y S. Mac Lane acerca del Teorema de Eilenberg-Zilber, que dio lugar a un avance enorme en los años cincuenta en el área de la Topología Algebraica. Dicho teorema, nos sirve para probar la existencia de una contracción entre la construcción cobar del productor tensorial de dos coálgebras y el producto tensorial de las construcciones cobar respectivas, teorema que dualiza totalmente el trabajo realizado acerca de la construcción bar por S. Eilenberg y S. Mac Lane. Como aplicación de algunas de estas herramientas, calculamos en el capítulo cuarto la A∞-estructura de la homología de los espacios de Eilenberg-Mac Lane con coeficientes en el anillo ℤp. - La segunda sección, correspondiente al capítulo tres, se basa en la búsqueda de una noción robusta de A∞-álgebra de Hopf por perturbación. Para ello, definimos un dg-módulo asociado a una álgebra de Hopf, y demostramos que dada una álgebra de Hopf y una contracción, ésta induce sobre el dg-módulo menor de una A∞-álgebra de Hopf, en donde determinamos cuales deben ser las operaciones integrantes de dicha estructura y las relaciones que deben verificar. En particular, mostramos una noción dual a la dada por R. Umble y S. Saneblidze acerca de las A∞-álgebras de Hopf. La última parte de la memora, que corresponder al capítulo cinco, está dedicada a la traslación computacional de las A∞-estructuras, con la creación e implementación de algoritmos que sean capaces de calcular (a bajo nivel) las operaciones integrantes de una A∞-estructura, con el fin de poder testar algunos ejemplos y de obtener experimentalmente resultados hasta ahora no conocidos. El capítulo consta de tres secciones, en la primera se tratan diversos problemas teóricos de traslación de conceptos matemáticos, en la segunda planteamos las soluciones a los mismos y ya en la tercera sección mostramos ejemplos de computación con seudo-código. Además, hemos añadido un apéndice con los archivos creados con su correspondiente aplicación para poder hacer uso del programa.