Some topics on nite p-groups and pro-p groups

Resumen

Tesi hau hiru zatitan banatuta dago, horietako bakoitzak p-talde finituen eta pro-p taldeen teoriaren hainbat alderdi lantzen dituelarik.Lehenengo zatian, ondorengo problema aztertzen da: izan bitez G taldea eta w hitza; zein baldintzatan dator bat G-ren w-rekiko hitzezko azpitaldea w-balioen multzoarekin? Problema hori talde askearen azpitalde deribatuko zenbait hitzentzat aztertuko da, kommutadore hitzarentzat, hitz zentral beherakorrentzat eta kanpo kommutadore orokorrentzat alegia, hipotesi gehigarri batekin: G p-talde finitu bat izatea.Bigarren zatian, dimentsio fraktal ezberdinak aztertzen dira talde profinituetan, arreta berezia jarriz Hausdorffen dimentsio funtzioan. Azken hamarkadetan, Hausdorffen dimentsio funtzioak aplikazio interesgarriak eman ditu testuinguru horretan, horiek guztiak Barnea eta Shalev-en formula aitzindarian oinarrituta. Formula horren arabera, G talde profinitu baten H azpitalde itxi baten Hausdorffen dimentsioa H-k G-n duen "dentsitate logaritmikotzat'' har daiteke. Alde batetik, formula hori orokortuko dugu, eta bestetik, G-ren filtrazio serie batekiko Hausdorffen espektro normalaren nozioan jarriko dugu arreta.Azkenik, tesiaren hirugarren zatian, bi talde mota berri aurkezten dira: p-talde boteretsuki ebazgarriak eta p-talde boteretsuki bakunak. Talde horiek p-talde boteretsuak dira eta, nolabait, talde ebazgarri finituek eta talde bakun finituek talde finitu guztien klasean duten "papera'' betetzen dute, hurrenez hurren. Talde horiei buruzko emaitza eta sailkapen batzuk emango ditugu, Jordan-Hölder motako teorema bat barne. Horretarako, interes berezia izango du talde boteretsu jakin batzuen kategoriaren eta Fp-ren gaineko aljebra alternatuen kategoriaren arteko korrespondentziak.