One-dimensional bosons in circuit qed

Resumen

Introducción Típicamente, en un experimento científico uno busca monitorear una pequeña parte del universo. En cierta medida, la muestra bajo observación estará influenciada por su entorno. Es posible lograr un muy buen aislamiento en el laboratorio, no obstante, los llamados sistemas cerrados perfectos no existen y, tarde o temprano, la muestra será afectada por sus alrededores. Esta es la naturaleza, sus diferentes componentes interactúan entre ellos. Cuando insistimos en estudiar solamente uno de ellos, la influencia de los demás no puede despreciarse. Las reacciones químicas, las transiciones atómicas, la termalización así como la vida misma son producto de la interacción con muchos grados de libertad sobre los cuales no tenemos control. En mecánica cuántica, el acoplo con el entorno es bastante famoso debido al problema de la decoherencia. El entorno introduce un desfase y la mayoría de superposiciones cuánticas desaparecen. La decoherencia provee una ruta para hacer las evoluciones cuánticas cada vez más clásicas y, de esta manera, explica la transición del mundo cuántico al clásico. Por otra parte, es un obstáculo en tecnologías cuánticas donde las reglas de operación son de naturaleza cuántica. Es claro que la llamada comunidad de información cuántica tiene especial interés en la interacción con el entorno. Con algunas excepciones, los protocolos convencionales en comunicación cuántica, computación o simulaciones deben de evitar las interacciones con el entorno. Las tecnologías cuánticas son bastante importantes ya que prometen resolver problemas muy difíciles. Luego, por razones fundamentales (entender como funciona la naturaleza), porque nos gustaría poder evitarla o incluso explotarla a nuestro favor, la teoría de sistemas abiertos tiene un papel central en la ciencia en general y la física en particular. Es momento de cambiar de dirección y enfocar esta introducción hacia los temas cubiertos en esta tesis. Como mencionamos antes, una comunidad especialmente interesada en la decoherencia es aquella que tiene como objetivo desarrollar un procesador cuántico. En particular, los laboratorios que trabajan en simuladores cuánticos analógicos, sistemas cuánticos bien controlados cuya evolución está gobernada por los hamiltonianos que se quiere simular. Esta idea es útil cuando estos hamiltonianos son difíciles o inclusive imposibles de resolver con ordenadores clásicos. De esta manera, los resultados de los experimentos son las soluciones que buscábamos resolver matemáticamente (por medio de un ordenador clásico). Como uno podría imaginar, la condición de controlabilidad (parámetros hamiltonianos, salidas, etc.) imponen el uso de aparatos externos que, a su vez, inducen un acoplo con el entorno. Incluso sin poseer aún una teoría de corrección de errores, incluso si este ruido siempre estará ahí, no hay porque ser tan pesimistas. Los experimentos ya han demostrado buenos resultados. El hamiltoniano que deseamos simular es importante ya que describe las propiedades de algúm material. Luego, como dicta la naturaleza, estos materiales estarán en contacto con un entorno que no podemos controlar. De esta manera, las fases encontradas en la naturaleza y que buscamos entender deben de ser robustas frente a aquellas imperfecciones. Finalmente, la disipación puede generar aquellas fases o incluso nuevas (no encontradas en la naturaleza). Así, siendo tal vez demasiado optimistas, el ruido no acabará con estos esfuerzos y, en segundo lugar, representará una nueva oportunidad para descubrir nuevas fases en estos materiales cuánticos artificiales. Ejemplos de materiales artificiales cuánticos son los gases cuánticos, las trampas de iones, los cristales fotónicos, los puntos cuánticos y los circuitos superconductores. En particular, los circuitos superconductores son materiales artificiales que serán discutidos en este trabajo. En pocas palabras, estos no son más que circuitos eléctricos compuestos de capacitores, inductores, etc., combinados con uniones Josephson, elementos no lineales que operan bajos las leyes de la mecánica cuántica. Operando a temperaturas de miliKelvins, las ecuaciones de Kirchhoff que gobiernan estos circuitos deben de ser cuantizadas. Hoy en día el campo se conoce como electrodinámica cuántica de circuitos ya que provee una realización de estado sólido análoga a la electrodinámica cuántica en cavidades. En esta, el rol de los fotones lo realizan las corrientes eléctricas mientras que la materia está codificada en sistemas de pocos niveles (bits cuánticos) donde la fase superconductora hace el papel de grado de libertad de la materia. A pesar de trabajar a bajas temperaturas y en el regimen superconductor (donde la disipación eléctrica es despreciable), el acoplo con el entorno es obligatoria. En este caso, el rol del entorno lo llevan los circuitos externos para el control u operaciones de medición. En conclusión, la teoría de la disipación no puede ser evitada en este campo. Finalmente, si usted es de los que piensa que las simulaciones cuánticas jamás serán una realidad y prefiere poner sus esfuerzos en hacer que las simulaciones clásicas sean más eficientes o, si a usted no le molesta que todos los sistemas sean abiertos y se siente cómodo entendiendo los hamiltonianos, igual nos gustaría convencerle que este trabajo puede ser útil para usted. Esto se debe a la conexión entre los sistemas abiertos y los estados producto de matriz (MPS por sus siglas en inglés) y los estados pares entrelazados proyectados (PEPS por sus siglas en inglés). Estos últimos son estados que, con poco esfuerzo numérico pueden simular sistemas cuánticos de muchas partículas. En particular, los campos que emergen de sistemas discretos acoplados a un continuo, son estados que caracterizan el sector de baja energía de teorías cuánticas de campos. Desarrollo teórico En primer lugar, en el capítulo 2 revisamos brevemente el marco para tratar con sistemas cuánticos de muchos cuerpos. Una vez hecho esto, introduciremos los modelos que serán estudiados a lo largo de este trabajo. Finalmente, presentamos la técnica de la bosonización. En el capítulo 3 revisamos el campo de la disipación cuántica. Nuestro punto de partida será la ecuación de Langevin con la cual estableceremos las principales ideas para estudiar las llamadas ecuaciones maestras y el formalismo de entrada-salida. Se dará énfasis a las evoluciones markovianas. Los circuitos superconductores serán introducidos en el capítulo 4. Mostraremos como estas arquitecturas proveen un soporte físico para los modelos discutidos en los capítulos anteriores y como están conectados a la teoría de la disipación. En el capítulo 5 conectamos la física cuántica de muchos cuerpos con la disipación cuántica para explorar nuevas fases en sistemas de muchos cuerpos. Vamos a presentar una serie de modelos susceptibles de ser simulados en circuitos superconductores. En el capítulo 6 introduciremos los estados producto de matriz continuos. Desarrollaremos el formalismo matemático, reglas operacionales y los aplicaremos al estudio numérico de las propiedades de baja energía de teorías de campos unidimensionales. Luego, extenderemos este método para estudiar mezclas de gases degenerados y caracterizaremos por completo una transición de fase. En el capítulo 7 introduciremos una nueva clase de simulación cuántica que nace a partir de la teoría cMPS. Propondremos un experimento en circuitos superconductores para estudiar una transición de fase encontrada en mezclas de gases bosónicos donde las interacciones se pueden controlar. Conclusiones En este trabajo nos hemos interesado en la interacción de sistemas cuánticos de muchas partículas con su entorno. Ya que la física es una ciencia experimental, hemos tratado de proveer a los modelos discutidos aquí con un soporte físico. Para esta tarea, hemos contado con arquitecturas de circuitos superconductores. Estos últimos son candidatos prometedores para la implementación de tecnologías en información cuántica. En el contexto de este trabajo, ellos representan una plataforma donde la interacción entre la luz y la materia puede ser reproducida con un alto grado de control. Nuevos avances en tecnologías de electrodinámica cuántica de circuitos han probado ser robustos frente a la influencia del entorno. Un ejemplo de esto último es el transmon, un átomo artificial altamente insensible al mundo exterior. Sin embargo, sin importar cuan robusto frente a la decoherencia pueda ser un sistema, el entorno siempre estará ahí y su influencia no podrá ser despreciada. En esta tesis hemos tratado de tomar ventaja de este hecho para mostrar como, tal vez de manera contra intuitiva, el entorno puede llevar a un sistema de muchas partículas a un estado cuántico deseado en lugar de a un estado térmico trivial. Hemos explorado también la conexión entre una teoría cuántica de campos hamiltoniana y la dinámica disipativa, una propuesta bastante reciente y basada únicamente en las propiedades de entrelazamiento que exhiben los estados de baja energía de hamiltonianos locales. En el capítulo 2 revisamos la maquinaria de la segunda cuantización, el punto de partida para tratar sistemas compuestos de muchas partículas cuánticas. Ahí explicamos como, las diferentes estadísticas obedecidas por los constituyentes de la naturaleza hacen el tratamiento de estos sistemas prácticamente imposible mediante el formalismo de Schrödinger. Una vez provistos de las herramientas necesarias, y no solamente para demostrar el poder y la simplicidad de la segunda cuantización, procedemos a introducir los principales modelos que nos acompañarán a lo largo de esta tesis. Presentamos el modelo cuántico de Rabi, el cual constituye el modelo arquetípico de interacción luz-materia en implementaciones de electrodinámica cuántica en cavidades así como en circuitos. A partir de aquí nos concentramos en sistemas unidimensionales. Considerados como meras abstracciones matemáticas en el pasado, esta clase de sistemas pueden ser realizados en diferentes tecnologías en la actualidad. Por ejemplo, en átomos fríos atrapados en redes ópticas, chips atómicos y por supuesto, en circuitos superconductores. Una menor dimensionalidad no necesariamente implica una física menos compleja, por el contrario, trae nuevos fenómenos en juego. El paradigma de una teoría de campos en una dimensión es el modelo de Lieb-Liniger que también introducimos aquí para estudiar extensamente luego. También se discutieron teorías de redes, para ser precisos, el modelo de enlace fuerte recurrente en la física de estado sólido así como el modelo de Bose-Hubbard, la versión discreta del gas de Lieb-Liniger. Finalmente, estudiamos la técnica de bosonización. Esta nos provee de una descripción del sector de baja energía de una teoría cuántica de campos y que explotaremos luego en el capítulo 6. El segundo actor principal de esta tesis fue introducido en el capítulo 3: la disipación cuántica. Partiendo del movimiento Browniano clásico, hemos discutido como la interacción de un sistema con su entorno afecta la evolución del primero. Luego de presentar los conceptos básicos e ideas, procedimos a introducir el formalismo de la matriz de densidad para tratar sistemas cuánticos abiertos. Las ecuaciones maestras markovianas aparecen frecuentemente en la literatura, sin embargo, como nosotros lo consideramos, muchos de los ingredientes que llevan a su formulación son usualmente tomados como ciertos o no son presentados adecuadamente. Introducimos el concepto de markovianidad y estudiamos las condiciones que garantizan una evolución local en el tiempo. Más aún, aclaramos cuando las mencionadas condiciones se satisfacen para la clase de sistemas que serán de interés en capítulos posteriores. Para concluir nuestro estudio de la disipación, presentamos el formalismo de entrada-salida. En este caso, monitoreando la evolución del entorno adquirimos información de la evolución de un sistema de interés. Esto nos servirá luego como esquema de medida. En el capítulo 4 introducimos el campo de los circuitos superconductores. Revisamos sus principales elementos: fotones de microondas que se propagan a través de líneas de transmisión y/o resonadores de líneas de transmisión y los átomos artificales o bits cuánticos. La interacción entre estos realiza la versión en estado sólido de las interacciones luz-materia, la llamada electrodinámica cuántica de circuitos. La relación entre la física de muchos cuerpos y la disipación fue explorada en el capítulo 5. Un resultado central de este capítulo es el de la ingeniería de la disipación. Aquí, un sistema de interés, una cavidad, se hace interactuar con un átomo artificial el cual a su vez está acoplado fuertemente con el entorno. Haciendo variar periódicamente el espaciado entre los dos niveles del átomo artificial con las frecuencias adecuadas, demostramos como la dinámica disipativa efectiva para la cavidad evoluciona en el largo tiempo, hacia un estado cuántico. Esta idea, fácilmente exportable a un sistema con muchos cuerpos, nos llevó a proponer un sistema capaz de emitir pares de fotones entrelazados de manera controlada. Desde una perspectiva puramente teórica, la ingeniería de disipación nos permitió el estudio de transiciones de fase producidas por el entorno. A pesar de no ser aún una teoría desarrollada por completo, fuimos capaces de observar cambios dramáticos en el comportamiento del sistema (típico en una transición de fase) cuando el entrelazamiento entre sus constituyentes se hacía divergente. Otra característica de la criticalidad disipativa que encontramos, fue un tiempo de relajación divergente cerca de este punto. El rol de las interacciones en este contexto fue estudiado luego. Demostramos que proveer al sistema de una no linealidad era equivalente de dotarlo de una temperatura efectiva que destruía el entrelazamiento trivialmente. Finalmente, teniendo control de como un sistema se acopla de manera efectiva al entorno nos permite controlar, de manera efectiva nuevamente, su dinámica disipativa. Esto nos da la posibilidad de inducir ganacias y/o pérdidas. Este es un ingrediente fundamental para explorar sistemas PT simétricos, sistemas gobernados por ecuaciones de movimiento que permanecen invariantes bajo las operaciones combinadas de paridad e inversión temporal. Propusimos una arquitectura en electrodinámica cuántica de circuitos para la obervación de las principales características de esta clase de dinámica. Nuestra propuesta teórica esta acompañada de simulaciones numéricas así como de un esquema de medida. Constituye la primera propuesta para explorar física PT simétrica en un sistema no-clásico. En el capítulo 6 introdujimos la descripción de entrelazamiento de sistemas cuánticos de muchas partículas. Las llamadas redes de tensores han sido de gran interés en los últimos años pues proveen una manera eficiente de búsqueda numérica de estados de baja energía en redes. La extensión al continuo de la generación secuencial de estos estados de red provee un enlace entre la dinámica hamiltoniana y la dinámica disipativa. Aquí, un sistema disipativo discreto nos permite generar los llamados estados producto de matriz continuos (cMPS por sus siglas en inglés). Hemos revisado este formalismo desde el inicio, además de discutir extensamente sobre sus propiedades y reglas operacionales a lo largo de este capítulo. Demostramos como los estados producto de matriz continuos no solo sirven para estudiar las propiedades del estado fundamental, sino también las excitaciones de baja energía de sistemas unidimensionales cuando se combinan con la bosonización ya introducida. Habiendo ganado un conocimiento suficiente acerca de la teoría cMPS fuímos capaces de extender este formalismo para estudiar campos acoplados. Esta clase de sistemas se obtiene en experimentos en átomos fríos los cuales son de gran interés debido a la rica fenomenología que exhiben. Nuestra propuesta, la primera para estudiar campos interactuantes, fue utilizada luego para caracterizar transiciones de fase que se dan en mezclas de gases cuánticos. Finalmente, en el capítulo 7 discutimos como se pueden generar estados producto de matriz continuous en un experimento. Motivados por una reciente propuesta así como su realización experimental, demostramos como nuestra extensión del formalismo cMPS puede ser fácilmente implementada en un experimento en electrodinámica cuántica de circuitos. Acompañamos esta propuesta de simulaciones numéricas que validan su capacidad para estudiar transiciones de fase en mezaclas de gases bosónicos. Bibliografía [1] W. H. Zurek, (2003), 0306072. [2] M. A. 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