Large-time behavior of some numerical schemesapplication to the sonic-boom phenomenon

Abstract

Hoy en día, una de las mayores preocupaciones en la investigación aeronáutica es el control y la reducción del sonido generado por las aeronaves. De hecho, uno de los principales objetivos de esta vasta e importante área de actividad industrial y comercial consiste en cumplir con las estrictas restricciones de ruido y diseño para aviones supersónicos. En particular, la minimización de la explosión sónica generada por estas aeronaves es el punto clave para tener éxito en el desarrollo de transporte supersónico civil eficiente.Como comprobamos en este trabajo, este tipo de asuntos requiere herramientas numéricas que funcionen bien con problemas de evolución con horizontes temporales lejanos. En esta tesis enfatizamos la necesidad de emplear esquemas de aproximación numérica que preserven las propiedades dinámicas del sistema continuo en tiempos grandes. Aplicamos esto en el caso particular de la predicción y el control de la explosión sónica, modelada por la ecuación de Burgers aumentada: en la que se tienen en cuenta efectos no lineales, además de diversos fenómenos producidos en la propagación por la atmósfera.A continuación describimos los aspectos más importantes de cada uno los temas tratados en esta tesis, los resultados obtenidos y los métodos que para tal efecto hemos desarrollado, basados en los artículos [1,2,3,4].1. Viscosidad evanescente en esquemas numéricosEs bien conocida la diferencia significativa existente entre la ecuación de Burgers viscosa y su versión no viscosa en lo que respecta al comportamiento en tiempos grandes de sus soluciones. El principal resultado del Capítulo 2, basado en el artículo [4], afirma que lo mismo puede suceder a la hora de aproximar la ecuación de Burgers no viscosa mediante esquemas numéricos. Esto no es sorprendente, ya que, como es bien sabido, los esquemas numéricos convergentes introducen cierto grado de viscosidad numérica. Nuestro análisis permite clasificar los esquemas numéricos en aquellos que, cuando el tiempo tiende a infinito, introducen una cantidad de viscosidad numérica insignificante ¿y que, por tanto, conducen al comportamiento asintótico correcto descrito por las N-waves¿ y aquellos que introducen demasiada viscosidad numérica ¿dirigiéndose, por ello, hacia perfiles auto-semejantes viscosos¿¬.Como veremos, los esquemas de Engquist-Osher y Godunov pertenecen a la primera categoría, mientras que el clásico esquema de Lax-Friedrichs encaja en el segundo. Resumiendo, podemos decir que las soluciones de los esquemas de Engquist-Osher y Godunov, para una malla fijada, capturan la dinámica hiperbólica del sistema continuo. Por el contrario, el esquema de Lax-Friedrichs, debido a la cantidad excesiva de viscosidad numérica, lleva a un comportamiento asintótico incorrecto, de naturaleza viscosa y no hiperbólica. Nótese que, a pesar de que nuestro análisis se reduce a la ecuación de Burgers no viscosa, se pueden generalizar las mismas conclusiones a la aproximación numérica de leyes de conservación viscosas en las que la cantidad de viscosidad efectiva, cuando tiende a infinito, dependa significativamente de la naturaleza del esquema numérico considerado.El principal objetivo del Capítulo 2 es analizar, una vez fijados y , el comportamiento asintótico de estas soluciones discretas cuando . Por supuesto, estamos interesados en esquemas numéricos que convergen a la solución entrópica y en parámetros de la malla que satisfagan la correspondiente condición de CFL. Nuestro análisis se centra, sobre todo, en los esquemas numéricos de Lax-Friedrichs, Engquist-Osher y Godunov, que son conservativos y conocidos por verificar la condición de Lipschitz unilateral, que es necesaria para establecer las propiedades de decaimiento cuando el tiempo discreto tiende a infinito.Para ser más precisos, consideremos que es una aproximación del dato inicial; por ejemplo, Definimos también una función contante a trozos , que toma valores en , como donde y se calcula mediante el esquema Aquí es el flujo numérico, una aproximación del flujo continuo mediante una función continua (en nuestros resultados, los de Engquist-Osher, Godunov y Lax-Friedrichs, que toman ). El siguiente teorema es el principal resultado del Capítulo 2.Teorema 1. Sean y y parámetros de la malla satisfaciendo la condición de CFL , . Sea la correspondiente solución del esquema discreto para la ecuación de Burgers no viscosa. Entonces, para cualquier , se cumple que donde el perfil es el siguiente:1. Para el esquema de Lax-Friedrichs, es la única solución de la ecuación de Burgers viscosa dada por donde .2. Para los esquemas de Engquist-Osher y Godunov, es la única solución de la ecuación de Burgers hiperbólica dada por con y Para probar este teorema usamos argumentos de escala, similares a los aplicados en las demostraciones de los análogos continuos. Además, también introducimos las variables semejantes, que son una herramienta común en el análisis del comportamiento asintótico de ecuaciones en derivadas parciales. Esto nos permitirá observar de manera más clara algunos de los fenómenos mencionados.2. Control óptimo en horizontes lejanosEn el Capítulo 3, basándonos en el artículo [1], analizamos la aproximación numérica del problema del diseño inverso para la ecuación de Burgers, tanto para el caso viscoso como para el no viscoso, siendo y respectivamente. Al igual que sucede en el problema de la minimización de la explosión sónica, dados un tiempo y una función objetivo , el propósito es identificar el dato inicial de manera que su correspondiente solución alcance el objetivo en o, al menos, se acerque lo máximo posible.Esencialmente, la cuestión consiste en resolver hacia atrás la ecuación de Burgers, un problema que está mal puesto. En el caso viscoso , eso se debe a la fuerte irreversibilidad en tiempo intrínseca de la ecuación de Burgers parabólica, que se ve realzada por los fenómenos no lineales de la dinámica hiperbólica. En el caso hiperbólico no viscoso, la no linealidad del modelo, que produce la aparición de discontinuidades, hace que el problema también esté mal puesto, teniendo además múltiples soluciones en algunos casos.Formulamos el problema desde el punto de vista del control óptimo. Usando un enfoque de mínimos cuadrados, consideramos la minimización del siguiente funcional: donde es la solución de la ecuación de Burgers y el dato inicial forma parte de una clase de funciones adecuada, como por ejemplo .Este problema de control óptimo surge de manera natural como una versión simplificada del modelo completo de la explosión sónica. Uno de los ingredientes principales es que el horizonte temporal considerado tiene que ser grande, por motivos prácticos. Como vemos, esto hace que la elección del esquema numérico que aproxime la EDP sea una cuestión delicada, dado que los esquemas que no reproducen correctamente la dinámica de tiempos grandes son incapaces de producir una aproximación precisa del control óptimo. Tal y como mencionábamos anteriormente, la dicotomía parabólica/hiperbólica asintótica ha de ser tratada cuidadosamente. En particular, el exceso de viscosidad numérica podría destruir la dinámica hiperbólica y hacerla parabólica. El análisis del Capítulo 2 se lleva a cabo en un contexto puramente hiperbólico; pero dicha patología también puede aparecer en el caso de la ecuación de Burgers no viscosa cuando la viscosidad numérica domina a la física.En este trabajo enfatizamos las consecuencias de este hecho a nivel del diseño inverso. Para ello empleamos un método de gradiente descendente junto con la metodología del adjunto. También utilizamos IPOPT, un paquete informático de libre distribución para optimización no lineal, como soporte para nuestros resultados. No obstante, nótese que la dicotomía del comportamiento en tiempos grandes puede extenderse a otros métodos numéricos.Nuestros resultados constituyen una advertencia importante sobre la necesidad de emplear esquemas de aproximación numérica, capaces de imitar las propiedades dinámicas de tiempos grandes del sistema, a la hora de resolver problemas de diseño inverso y control óptimo en horizontes temporales lejanos. Esto ya fue observado previamente en problemas de control para la propagación de ondas, siendo interesante ver que las mismas patologías persisten en el problema del diseño inverso para flujos viscosos y no viscosos, aparentemente más robusto.3. Esquemas numéricos que preservan el comportamiento en tiempos grandes de la ABEEl Capítulo 4 está dedicado a la ecuación de Burgers aumentada con parámetros constantes y un único proceso de relajación molecular. Nos centramos en la siguiente ecuación: donde denota la convolución en la variable , los parámetros son positivos y . Este capítulo se basa en los resultados del artículo [2].Las mismas patologías que analizamos en los Capítulos 2 y 3 aparecen también en el contexto de la ecuación de Burgers aumentada. Valores pequeños de y necesitan un tratamiento similar desde el punto de vista numérico, como si la ecuación fuera hiperbólica. Por tanto, en el Capítulo 4 estudiamos el comportamiento asintótico de las soluciones de esta ecuación cuanto y desarrollamos un esquema numérico semi-discreto que preserva tal comportamiento.En lo que concierne al comportamiento de las soluciones del sistema en tiempos grandes, el teorema siguiente contiene el principal resultado:Teorema 2. Sea . Para cualquier , la solución satisface donde es la solución de la siguiente ecuación: Aquí indica la delta de Dirac en el origen y es la masa del dato inicial, .Nuevamente, esto es particularmente importante a nivel numérico. Por un lado, al elegir el flujo numérico que discretice la no linealidad, necesitamos tener cuidado con la viscosidad numérica que introducimos. Por otro lado, hemos de tratar con cuidado el truncamiento del término integral, de manera que no introduzcamos patologías no deseadas en el comportamiento asintótico de la solución numérica. En ese sentido, nosotros proponemos dos factores correctores.Sea una aproximación de la solución . Definimos esta función constante a trozos (a diferencia del Capítulo 2, ahora solamente en el espacio) como sigue: donde , para todo , y es el tamaño de malla dado. Para cada , necesitamos calcular una función que aproxime el valor de la solución en la celda. Teniendo en cuenta la problemática descrita anteriormente, optamos por la siguiente discretización: el esquema Engquist-Osher para el flujo, diferencias finitas centradas para el laplaciano y la regla del rectángulo compuesta para la integral: donde y El parámetro señala el número de nodos considerados en la fórmula de cuadratura de la integral. Los factores correctores y que aparecen junto con las aproximaciones de los términos y , dados por sirven para que el truncamiento del término no local sea correcto desde el punto de vista del comportamiento en tiempos grandes.Finalmente, para fijo, estudiamos el comportamiento asintótico de estas soluciones semi-discretas cuando .Teorema 3. Sea , and la correspondiente solución del esquema semi-discreto. Para cualquier , se verifica lo siguiente: donde es la única solución de la siguiente ecuación de Burgers viscosa: Aquí es la masa del dato inicial y Obsérvese que, para un , si se toma de manera que y cuando . Esos son, de hecho, los valores que uno debiera esperar por el modelo continuo.4. Separación de operadores para la ABEResolver el esquema anterior puede ser costoso computacionalmente si es grande. Por tanto, en el Capítulo 5 establecemos el marco para fortalecer el uso de métodos de separación de operadores para resolver la ecuación de Burgers aumentada ¿técnicas que ya han sido empleadas en el contexto del fenómeno de la explosión sónica¿, basándonos en el artículo [3].Presentamos la siguiente fórmula de Trotter para la ecuación de Burgers aumentada. A fin de mantener una notación clara, analizaremos únicamente el caso , pero los resultados obtenidos se pueden extender fácilmente al caso general. Sea el operador de evolución asociado a e , el correspondiente a Consideramos el flujo definido por . El objetivo es aproximar la solución $u$ mediante donde y . Recordemos que y para cada .El primer resultado del Capítulo 5, que confirma que la separación de operadores propuesta es de primer orden para soluciones suficientemente regulares, es el siguiente.Teorema 4. Sea . Para todo y todo , existen constantes positivas , y tales que, para todo y para todo tal que , y Aquí , y solamente dependen de y de .Además, siguiendo técnicas parecidas a las empleadas en el Capítulo 4, obtenemos el primer término de la expansión asintótica de la solución dada por el operador . Definimos la función como Sea . Si definimos la función (cuyo valor es 1 si está en y 0 en caso contrario), queda claro que el sistema anterior puede ser escrito de la siguiente forma: Formalmente cuando . Además, el comportamiento de cuando se deduce mediante un argumento de escala y se enuncia a continuación.Teorema 5. Para cualquier y , , donde es el perfil auto-semejante de la siguiente ecuación de Burgers viscosa: Obsérvese, que este es, precisamente, el comportamiento asintótico en tiempos grandes de la solución del sistema continuo.Referencias[1] N. Allahverdi, A. Pozo and E. Zuazua, Numerical aspects of large-time optimal control of Burgers equation, submitted.[2] L. I. Ignat y A. Pozo, A semi-discrete large-time behavior preserving scheme for the augmented Burgers equation, submitted.[3] L. I. Ignat y A. Pozo, A splitting method for the augmented Burgers equation, preprint.[4] L. I. Ignat, A. Pozo y E. Zuazua, Large-time asymptotics, vanishing viscosity and numerics for 1-D scalar conservation laws, to appear in Mathematics of Computation.