Digital quantum simulations of spin models with superconducting circuits

Resumen

A lo largo de la historia, el ser humano, consciente de su incapacidad natural para realizar diversas tareas, ha utilizado herramientas que le han permitido afrontar de forma cada vez mas satisfactoria los problemas de cada epoca. Estos avances que van desde las lanzas prehistoricas para cazar mamuts hasta los aviones actuales para llegar al otro lado del mundo en cuestion de horas, han provisto a los humanos de habilidades que la naturaleza no nos ha brindado. No es distinto el caso particular de la computacion. Desde ni~nos hemos aprendido a hacer uso de elementos mas alla de nuestra mente analtica para la realizacion de todo tipo de calculos. Contar con los dedos, utilizar un abaco o un papel y un lapiz, y en ultima instancia hacer uso de un ordenador son solo algunos ejemplos de ello. Hay quien podra pensar erroneamente que los superordenadores con tecnologa puntera son capaces de resolver los problemas computacionales mas complejos pero la verdad es que posiblemente nunca lleguen a conseguirlo. Las primeras maquinas computadoras tenan un unico proposito, es decir, estaban programadas por construccion con una unica funcion, recibiendo el nombre de maquinas analogicas. En caso de querer realizar otra tarea, las maquinas analogicas deban desmontarse y reconstruirse, lo que resultaba ine ciente. Con el tiempo se introdujo la posibilidad de programar las computadoras sin la necesidad de alterar los distintos componentes fsicos, permitiendo as la posibilidad de introducir nuevas funciones no consideradas durante el dise~no y montaje de las maquinas. Estas reciben el nombre de computadoras digitales y su estructura se basa en tres partes: una entrada de datos, una funcion que actua sobre estos mediante una serie de puertas logicas y una salida de datos. Dise~nando un algoritmo que codi que el problema que se quiere resolver, la salida de datos da la solucion a dicho problema. Ademas, debido a la posibilidad de programar el algoritmo, se puede resolver una gran variedad de problemas sin la necesidad de hacer ajustes mecanicos en la maquina. La tecnologa en el ambito de la computacion ha tenido un crecimiento sin precedentes desde la implementacion del transistor, siendo esta la primera revolucion cuantica. Antes de este, los ordenadores funcionaban con valvulas o tubos de vaco de gran tama~no que requeran altas cantidades de energa ademas de necesitar un tiempo de calentamiento. Los transistores, dispositivos que trans eren se~nales electricas unidireccionalmente, mejoraron todas las cualidades de las valvulas, especialmente en rapidez y abilidad. Estos elementos, cuyos efectos fsicos se basan en efectos cuanticos, generaron una revolucion en la historia de la computacion. Como predijo Moore, la densidad de transistores en un microprocesador es duplicada cada dos a~nos. De esta forma, hoy da 1 disponemos de ordenadores programables de gran capacidad de calculo aunque todava no estan a la altura de simular la complejidad de los sistemas cuanticos. La mecanica cuantica se desarrollo durante la primera mitad del siglo XX, revelando una fsica exotica y contraintuitiva para muchos. As, la interaccion entre luz y materia a escala microscopica comenzo a describirse mediante modelos basados en interacciones entre partculas y campos cuanticos. Los efectos puramente cuanticos de la superposicion y entrelazamiento implican una di cultad inmensa a la hora de simularlos con un ordenador que codi ca los datos en bits, dgitos binarios con estados 0 o 1. Una maquina cuantica estara compuesta de bits cuanticos (qubits) cuyos estados seran superposiciones de los estados 0 y 1, y que podran entrelazarse con otros qubits. As pues, el ordenador cuantico no solo posibilitara este tipo de simulaciones sino tambien avanzados protocolos en el ambito de la teora de la informacion, como la factorizacion en numeros primos o la criptografa de alta seguridad. Por esa razon, la comunidad cient ca ha puesto grandes esfuerzos en controlar los sistemas cuanticos, dando lugar a diversas tecnologas cuanticas como iones atrapados, sistemas fotonicos o circuitos superconductores. Mediante el uso de estas tecnologas se puede estudiar el comportamiento de las propiedades cuanticas de modelos fsicos en un laboratorio. Para ello, nuestro sistema cuantico ha de cumplir una serie de requisitos como la capacidad de inicializar el sistema en un estado conocido, la posibilidad de implementar una evolucion o una serie de puertas logicas, as como la realizacion de medidas que den informacion del estado del sistema. En esta Tesis, mostramos las primeras propuestas de simulaciones cuanticas digitales de modelos de espines en la tecnologa cuantica de circuitos superconductores, que adquieren un comportamiento cuantico cuando su temperatura es de alrededor de 20 mK. En primer lugar estudiamos los distintos tipos de dinamicas que gobiernan estos sistemas y las consiguientes puertas logicas que pueden implementarse. Ademas, tenemos en cuenta las limitaciones de la tecnologa actual considerando los tiempos de coherencia cuantica y las imperfecciones experimentales a la hora de ejecutar puertas logicas en uno o varios qubits. Una vez conocidas en detalle las capacidades de los circuitos con interacciones de electrodinamica cuantica, podemos realizar varias propuestas para la simulacion de modelos cuanticos, en concreto, modelos de espines. El espn es una propiedad de las partculas elementales que interacciona mediante el acoplo dipolar magnetico. De esta forma, estos modelos estudian las propiedades de los sistemas de partculas con espn alineados en cadenas o redes en 2 y 3 dimensiones. Adicionalmente, los modelos espn-boson consideran las interacciones entre estos dos tipos de partculas que en muchos casos se re ere al acoplo entre la materia y la radiacion electromagnetica. Para simular estas interacciones, los circuitos superconductores se dise~nan de tal forma que se comporten como un sistema cuantico de dos niveles, conocido como qubit superconductor. Acoplando varios de estos qubits, ya sea capacitivamente o mediante una linea de transmision de microondas, las interacciones entre varios espines son reproducidas. Por otra parte, la lnea de transmision actua como un resonador, por lo que los qubits tambien interact uan con los modos electromagneticos dentro de la lnea resultando una genuina interaccion entre la luz y la materia. Una vez establecido un mapeo entre el estado de los espines y el de los qubits superconductores, y considerando los modos bosonicos del resonador, podemos comenzar a introducir dinamicas de 2 modelos de espn en nuestro sistema. Es necesario remarcar dos tipos distintos dentro del campo de las simulaciones cuanticas: las analogicas y las digitales. De forma similar a las primeras maquinas computadoras, los simuladores analogicos solo son capaces de reproducir dinamicas muy limitadas, siendo estas las que aparecen de forma natural en el sistema. As pues, la dinamica de aquellos modelos que sea igual que la de un simulador analogico podra ser testada experimentalmente en estas plataformas. Por otra parte tenemos los simuladores cuanticos digitales que permiten la simulacion de dinamicas con una gran generalidad. Estas simulaciones se basan en evoluciones realizadas por una serie discretizada de puertas logicas. Siguiendo la formula de Trotter-Suzuki-Lie, la evolucion unitaria de un sistema gobernado por un Hamiltoniano H puede ser descompuesta en una serie de evoluciones de Hamiltonianos Hk, donde la suma de estos es igual al Hamiltoniano simulado H = P k Hk. Ademas, esta formula predice un error teorico en la simulacion que depende de los conmutadores entre los Hamiltonianos aplicados y del tiempo simulado. Afortunadamente este error puede reducirse repitiendo la serie de puertas logicas a la vez que se reduce el tiempo de ejecucion de cada una. Lloyd, al proponer los simuladores cuanticos digitales, tomo como ejemplo la accion de aparcar un coche en lnea. Un coche que se quiere aparcar a su derecha (Hamiltoniano H) tiene que descomponer su movimiento en varios pasos en los que se mueve diagonalmente hacia atras y hacia adelante (Hamiltonianos HK). Como resultado, el coche termina aparcando correctamente a pesar de la dependencia del tama~no del hueco. Cuando este es grande, el coche debera realizar pocos movimientos (error mayor), pero si es peque~no se precisaran muchos movimientos. En el lmite, el coche necesitara in nitos movimientos para aparcar en un hueco de su misma longitud (error nulo). As pues, el uso de tecnicas digitales permite implementar una mayor cantidad de dinamicas que las que aparecen naturalmente en los circuitos superconductores como demostramos en las propuestas reunidas en esta Tesis. Dos de los modelos de espn mas conocidos son el de Heisenberg y el de Ising, los cuales describen la fsica de materiales ferromagneticos y antiferromagneticos. Estas interacciones no aparecen de forma natural en la tecnologa de circuitos por lo que hay que simularlas digitalmente. Afortunadamente la dinamica de dos qubits acoplados por un resonador en el regimen dispersivo es gobernada por la interaccion XY que tiene un gran parecido con los modelos de Heisenberg e Ising. En el Captulo 2 demostramos que realizando rotaciones sobre los qubits, antes y despues de las evoluciones unitarias bajo la interaccion XY, podemos cambiar las direcciones de la interacci on consiguiendo los modelos XZ e YZ. Mediante una descomposicion de Trotter, la suma de las tres interacciones da como resultado el modelo de Heisenberg que ademas tiene error digital nulo para dos qubits. De forma similar el modelo de Ising se logra ejecutando una evolucion XY seguida por otra con rotaciones locales sobre un unico qubit antes y despues. Considerando un campo transverso que se simula con rotaciones locales, este modelo requiere de varias repeticiones en la descomposicion de Trotter para limitar el error digital. Por tanto, analizamos la cantidad de puertas logicas requeridas para la simulacion y la delidad de estas con parametros realistas. Esta propuesta ha sido llevada al laboratorio por el grupo del Prof. Andreas Wallra en el ETH Zurich en colaboracion con el grupo QUTIS del Prof. Enrique Solano. Aqu, los modelos XY, Heisenberg e Ising con campo transverso fueron implementados en un chip sobre dos qubits acoplados mediante un resonador. Seguidamente hacemos un analisis de como simular el modelo de Rabi cuantico que describe la 3 interaccion luz-materia. La fsica de este modelo es diversa y a pesar de ser propuesto hace ochenta a~nos a da de hoy aun quedan regmenes por explorar. Este modelo consta de un espn y un modo bosonico, los cuales se pueden simular mediante un qubit superconductor acoplado a una gua de transmision. Por el contrario, el modelo efectivo que aparece en estos sistemas es el de Jaynes- Cummings, un regimen espec co del modelo de Rabi cuantico, y se requiere de Trotterizacion para lograr el modelo general. Haciendo uso de rotaciones locales en el estado del qubit, antes y despues de la interaccion Jaynes-Cummings, conseguimos la interaccion anti-Jaynes-Cummings. Esta, en vez de intercambiar excitaciones entre el qubit y el resonador, excita y desexcita los dos sistemas a la vez. Estas interacciones son complejas en el sentido de que involucran modos bosonicos que actuan en un espacio de Hilbert de dimension in nita. Debido a esto, la descomposicion de estos campos en qubits en una simulacion puramente digital, como lo hara un ordenador codi cando la informacion en bits, es muy ine ciente comparado con la implementacion de puertas logicas basadas en dinamicas analogicas. As, con una serie digitalizada de evoluciones unitarias compuesta por dos interacciones analogicas Jaynes-Cummings y dos rotaciones locales, se obtiene el modelo de Rabi en una simulacion cuantica que recibe el nombre de digital-analogica. Ademas, demostramos que la exibilidad en los parametros de los circuitos permite acceder a regmenes especialmente interesantes como lo son los de los acoplos \ultrastrong" y \deep strong" o la ecuacion de Dirac. En este apartado mostramos varias simulaciones numericas estimando la cantidad de repeticiones de Trotter requeridas para obtener delidades altas. Finalmente, proponemos la extension de esta simulacion digital-analogica para sistemas de varios qubits con dinamicas tipo Tavis-Cummings para la simulacion del modelo de Dicke. La implementacion experimental de este trabajo ha sido realizada recientemente por el grupo del Prof. Leonardo DiCarlo en la Universidad Tecnica de Delft, obteniendo unos resultados que han llegado a superar los lmites experimentales estimados en la propuesta inicial. En el Captulo 4 de esta Tesis, consideramos la implementacion de varios modelos de cadenas de espines en sistemas con acoplos capacitivos entre qubits vecinos, as como acoplos no locales mediante el uso de resonadores. De esta forma, ademas de las interacciones empleadas en los apartados anteriores, podemos introducir interacciones de tipo ZZ entre qubits que esten conectados en nuestro sistema fsico, pudiendo realizar una simulacion del modelo de Ising con menos puertas logicas. Ademas, demostramos que simulaciones cuanticas de modelos de mayor complejidad, con acoplos locales entre qubits que a su vez estan acoplados al campo bosonico del resonador, son factibles con este tipo de arquitecturas. De hecho, proponemos la interaccion Tavis-Cummings con acoplo entre espines vecinos de tipo Ising y estudiamos la forma de implementar interacciones entre multiples cuerpos. Estas son propias de modelos de materia condensada y en este trabajo analizamos numericamente el caso de interacciones entre tres cuerpos. Adicionalmente, proponemos el uso de tecnicas digitales para la realizacion de evoluciones adiabaticas. En estas, el sistema se inicializa en el estado base de un Hamiltoniano conocido, y variando el Hamiltoniano que gobierna la evolucion a lo largo de un cierto tiempo y tomando las precauciones pertinentes para no excitar al sistema, el estado del sistema pasa a ser el estado base del Hamiltoniano nal. Nosotros demostramos que la Trotterizacion permite realizar este tipo de protocolos y revisamos los resultados experimentales obtenidos por el grupo del Prof. John M. Martinis en Google/Universidad de California Santa Barbara en colaboracion con el grupo QUTIS del Prof. Enrique Solano, donde se realizan evoluciones adiabaticas cuanticas digitalizadas de modelos de espines con interacciones a 4 primeros vecinos. Por ultimo, proponemos el uso de algoritmos geneticos en las simulaciones digitales cuanticas. Los algoritmos geneticos son protocolos inspirados en sistemas biologicos que con el paso de los a~nos han conseguido una adaptacion al entorno que maximiza las probabilidades de supervivencia mediante la combinacion y la mutacion geneticas. De esta forma son capaces de encontrar soluciones de problemas de gran robustez en tiempos mucho menores que los algoritmos de optimizacion de fuerza bruta que tienen que procesar todos los posibles casos. En nuestras anteriores propuestas hemos descompuesto los modelos simulados en una suma de Hamiltonianos implementables en nuestro sistema. No obstante, mediante el uso de algoritmos geneticos es posible implementar estructuras de Hamiltonianos que no cumplen esta regla dando pie a simulaciones de alta delidad que requieren de menos recursos. As pues, en este trabajo demostramos numericamente que los algoritmos geneticos aportan estructuras de puertas logicas implementables en sistemas de qubits superconductores con acoplos capacitivos para la simulacion de modelos de espines de tipo Heisenberg e Ising. Por otra parte, como alternativa a los codigos de correccion de errores cuanticos, consideramos los algoritmos geneticos para la supresion de errores experimentales en puertas logicas y analizamos la construccion de la puerta Controlled-NOT (cnot). Para ello, tomamos un grupo de puertas cnot con errores arbitrarios y el algoritmo genetico determina una estructura de puertas logicas sobre qubits que tienen los roles de control, objetivo y ancillas. As, obtenemos como resultado una puerta cnot con un error inferior que cualquiera de las puertas empleadas en el protocolo, siendo robusta frente a peque~nas alteraciones en las puertas componentes. En conclusion, creemos que los resultados presentados en esta Tesis han contribuido al campo puntero de simulaciones cuanticas digitales en circuitos superconductores. Hemos analizado algunas de las primeras propuestas para la simulacion digital de modelos de espines, considerando en todo momento la tecnologa experimental de vanguardia para una aplicacion directa. Tanto es as que estos trabajos han tenido un impacto experimental inmediato, generando fructferas colaboraciones internacionales. Se espera que la tecnologa de circuitos superconductores mejore, dando lugar a una mejor controlabilidad con menores errores experimentales, mayores tiempos de coherencia y una mayor variedad de interacciones implementables. De este modo sera posible simular sistemas complejos empleando codigos de correccion de errores en ordenadores cuanticos con todo tipo de aplicaciones en fsica de materiales, bioqumica o fsica medica entre otros, logrando una supremaca cuantica frente a los ordenadores clasicos. En cualquier caso, aun hay cantidad de problemas por resolver desde un punto de vista teorico, como la creacion de un codigo universal de correccion de errores que involucre bloques de interacciones analogicas. El desarrollo de este y otros retos en el ambito de la informacion y tecnologas cuanticas nos encamina hacia la segunda revolucion cuantica que tendra aplicaciones directas en la vida cotidiana. No olvidemos que cuando se construyeron los primeros ordenadores nadie imagino que unos a~nos mas tarde cualquier persona podra tener un telefono movil en el bolsillo con capacidad para procesar informacion de una red de datos a nivel mundial en tiempo real.