On some new mathematical models for infective diseasesanalysis, equilibrium, positivity and vaccination controls

Abstract

Por un lado, cuando la enfermedad se desarrolla mediante la transmisi¿n de los agentes pat¿genos de un individuo enfermo a otro, como puede ser el caso del SIDA, o la gripe, se le llama enfermedad infecciosa, mientras que las enfermedades no-infecciosas se desarrollan sin la intervenci¿n de estos agentes, y normalmente se asocian a predisposiciones gen¿ticas, ambientales o modos de vida espec¿ficos. Esto no significa que estas dos categor¿as no puedan solaparse, por ejemplo, la cirrosis y el c¿ncer de h¿gado se asocian firmemente a contraer hepatitis (una enfermedad infecciosa), aunque contraer esta enfermedad no es necesario para que incida el c¿ncer o la cirrosis. En otra enfermedades, las variables derivadas del ecosistema de los agentes de infecci¿n puede aumentar la complejidad de los par¿metros de los modelos hasta un nivel donde estos se vuelven inservibles. En tales casos, como en el de las enfermedades causadas por ¿macro par¿sitos¿ tipo pulgas, trematodos u hongos, no se tienen en cuenta a la hora de modelizar, ya que las circunstancias ambientales en las que se da la infecci¿n y el numero de agentes infecciosos tienen tanta influencia en la enfermedad que la complejidad de los modelos aumenta hasta el punto de no poder describir correctamente.Por tanto, los modelos matem¿ticos mas eficaces se concentran en las enfermedades infecciosas de transmisi¿n ¿r¿pida¿, donde la densidad de pat¿genos dentro del anfitri¿n y su ciclo de vida no son relevantes para el modelo. Epidemias t¿picas estudiadas suelen ser la gripe, tos ferina, tuberculosis, malaria, dengue, sarampi¿n, difteria, etc¿La mec¿nica de estas enfermedades epid¿micas comparte una serie de par¿metros caracterizados por la transmisi¿n de la enfermedad de infectados a no infectados, y t¿picamente contiene unos periodos de tiempo en donde la enfermedad no ha presentado los s¿ntomas (periodo de incubaci¿n) pero el paciente se ha vuelto infectivo para otros. Mas tarde, los infectados muestran s¿ntomas externos (infecciosos) de diferentes tipos e intensidades, dependiendo del tipo de enfermedad e individuos. Al cabo de cierto tiempo, que depende de cada enfermedad, la poblaci¿n infectada puede volver a recobrarse, siendo esta inmune a la enfermedad o susceptible de nuevo a otras infecciones. Los modelos epid¿micos se refieren a las diversas clases de subpoblaciones relativas a la enfermedad usando los siguientes acr¿nimos:¿ La subpoblaci¿n susceptible (¿S¿), o la porci¿n de individuos de la poblaci¿n total que es susceptible a ser infectada¿ La subpoblaci¿n infectada (¿E¿) son aquellos individuos de la poblaci¿n que ha sido contagiada por la enfermedad pero todav¿a no es capaz de producir nuevas infecciones. Tambi¿n se les llama poblaci¿n expuesta.¿ La subpoblaci¿n infecciosa (¿I¿) esta compuesta de aquellos individuos infectados que son capaces de transmitir la infecci¿n a otros individuos.¿ La subpoblaci¿n ¿recobrada¿ (¿R¿) se refiere a la poblaci¿n no enferma que no pertenece a la poblaci¿n susceptible. Se entiende que es inmune tras haber pasado la enfermedad y tener defensas activas contra ella, aunque otras veces dicha inmunidad se puede adquirir mediante otros medios.Este es el caso en algunos modelos epid¿micos en el que se incluye tambi¿n una subpoblaci¿n extra llamada ¿vacunados¿ (¿V¿).La suma total de las subpoblaciones se denomina poblaci¿n total (¿N¿)De esta forma se presentan una serie de modelos t¿picos con diferentes niveles de complejidad ¿ Modelos SI (Susceptible/Infeccioso)¿ Modelos SIR (Susceptible/Infeccioso/Recobrado)¿ Modelos SEIR (Susceptible/Expuesto/Infeccioso/Recobrado)¿ Modelos SVEIR (Susceptible/Vacunado/Expuesto/Infeccioso/Recobrado)En estos modelos pueden aplicar una funci¿n para representar la vacunaci¿n, a la que nos referiremos como Vc. . Seg¿n sea la naturaleza espec¿fica de las enfermedad y la reacci¿n del sistema inmunitario del hu¿sped, algunas variantes de los modelos, como el anterior, incluyen un nuevo "S" final en su correspondiente acr¿nimo (cf. SEIRS), como la etapa final de la enfermedad se remonta desde recuper¿ para susceptible. Dependiendo de la velocidad de la del proceso y el impacto en la salud de la poblaci¿n enferma, las fluctuaciones en la poblaci¿n total se pueden tener en cuenta. Por lo tanto, la tasa de producci¿n de los reci¿n nacidos y las tasas de mortalidad se tienen en cuenta aunque, por simplicidad, a veces la poblaci¿n se supone constante y estos par¿metros se omiten en las ecuaciones.A la hora de controlar estas enfermedades hay varios m¿todos para reducir, en t¿rminos estad¿sticos, la probabilidad de infecci¿n sobre la poblaci¿n y la propagaci¿n de la enfermedad. Muchos de ellos implican la eliminaci¿n de cierta cantidad de individuos susceptibles o infectados de la poblaci¿n (sacrificio), o el aislamiento de lo conocido infectados del resto de los individuos sanos (cuarentena). La medicina tiene una larga historia con esta forma de control de la enfermedad, que en nuestros modelos se convertir¿an en las leyes de control. Estos m¿todos son gen¿ricos y pueden aplicarse cuando la informaci¿n acerca de la enfermedad es m¿nima. Sin embargo, los recursos necesarios utilizando estos m¿todos no siempre son menos intrusivo y son necesarios otros m¿todos m¿s asequibles. Por lo tanto, la vacunaci¿n se considera una ley de control y de tal modo hay dos estrategias principales sobre c¿mo aplicarlas: Vacunaci¿n constante y vacunaci¿n impulsiva, siendo estas controladas por leyes basadas en datos de las subpoblaciones, etc.Las leyes de control de la vacunaci¿n pueden incluir observadores para estimar las subpoblaciones con el fin de sintetizar los controles basados en ellos. Un dato importante a tener en cuenta en relaci¿n con la vacunaci¿n es la siguiente: los modelos epid¿micos nunca son (estado) controlables bajo cualquier ley de control de la vacunaci¿n y, lo que es equivalente, los modelos epid¿micos siempre muestran (estado) una incontrolabilidad, por lo que no hay una ley de control que permita llevar a todas las subpoblaciones a los valores prescritos en un tiempo finito. La raz¿n intuitiva para esta incontrolabilidad es que los modelos epid¿micos describen transiciones entre las subpoblaciones y normalmente una persona que se infecta, siempre que no muere, pasa a lo largo de todas las fases de la enfermedad a trav¿s del tiempo por lo que esto hace imposible lograr con capacidad de control de la forma habitual. Sin embargo, debe tenerse en cuenta que la propiedad de "controlabilidad de salida" es un objetivo realizable, si la salida se define con alguna combinaci¿n de subpoblaci¿n. Por ejemplo, si la salida es la suma de expuestos + infecciosos, puede fijarse como la controlabilidad de salida observada subjetivas para fijar a cero esta salida. Si se define como la suma de los susceptibles + inmunes, puede fijarse como objetivo la controlabilidad de salida para arreglar esta salida para ellos emergente totales.Esta tesis doctoral versa sobre algunas propiedades en la din¿mica de las clases de varios de los modelos epid¿micos SIRS, SEIRS y SVEIRS. Se le da una mayor relevancia a las propiedades de estabilidad local (alrededor de los puntos de equilibrio) y global, as¿ como a las reglas de vacunaci¿n que se implementan con el fin de eliminar asint¿ticamente la enfermedad y / o para mejorar su comportamiento transitorio hacia a erradicaci¿n en la pr¿ctica.Nuestros modelos epid¿micos se pueden desarrollar ya sea con poblaciones normalizadas o no normalizadas (la poblaci¿n total es de unidad y de las subpoblaciones son fracciones de la unidad cuya suma iguala la unidad). En el primer caso, la evoluci¿n en el tiempo de las subpoblaciones se interpreta como un porcentaje de la cantidad de individuos de cada subpoblaci¿n en cada instante de tiempo. Otras propiedades de inter¿s en el contexto de las ecuaciones diferenciales o sistemas de tiempo continuo o de tiempo discreto son: i) Estabilidad global/local: La estabilidad global de la poblaci¿n es irrelevante para los modelos normalizados, ya que todas las subpoblaciones est¿n delimitadas para todos los tiempos. En el caso de los modelos de un-normalizada, es de inter¿s en el caso de que la poblaci¿n total es ilimitado.ii) ii) Estabilidad parcial global/local: Es relevante tanto para ambos modelos normalizados/no normalizados, en el sentido de que las subpoblaciones expuestas e infecciosas son candidatas a converger asint¿ticamente a cero. De la misma forma, la suma de todas las otras subpoblaciones converge asint¿ticamente al total de la poblaci¿n.iii) iii) La permanencia de la infecci¿n: Se relaciona con el caso cuando las subpoblaciones expuestas/infecciosas no pueden eliminarse de manera. Si el modelo es permanente para cualquier condici¿n inicial, entonces el punto de equilibrio libre de enfermedad (es decir, la que tiene cero subpoblaciones infectadas o infecciosas) no puede ser asint¿ticamente estable. iv) iv) La positividad de la soluci¿n: Dada la coherencia de los modelos en relaci¿n con la naturaleza de lo descrito, los modelos epid¿micos no admiten subpoblaciones negativas. os modelos se describen mediante un conjunto de par¿metros, siendo algunos de ellos depende de la especie tratados y algunos de ellos de la enfermedad en particular. En general los par¿metros principales son :-Las tasas de natalidad de la poblaci¿n, , que se relacionan con la poblaci¿n que por unidad de tiempo, en promedio. -Las tasa de mortalidad natural relacionada con la muerte de las personas debido a la vejez y causas no relacionada con la enfermedad-A su vez, existe una tasa de mortalidad adicional causado por la enfermedad en la subpoblaci¿n infectada. Al igual que en la tasa de mortalidad natural, es proporcional a la inversa la vida, en promedio, de un individuo afectado por la enfermedad.-Ratios de transici¿n de subpoblaci¿n infectada a infecciosa, de infecciosa a recuperada y de recuperada a susceptible de nuevoAsimismo, dado que tratamos con enfermedades infecciosas, se tiene en cuenta una constante transmisi¿n de la enfermedad, que se define en funci¿n del tipo de modelo utilizado.-R0: n¿mero de reproducci¿n b¿sica, que se define como el n¿mero promedio de casos secundarios generados a partir de un caso primario medio en una subpopblaci¿n totalmente susceptible. Este numero se deriva del resto de los par¿metros y depende del tipo de modelos, y en muchos aspectos es fundamental para comprender la naturaleza de las enfermedades y su evoluci¿n a trav¿s del tiempo. El n¿mero b¿sico de reproducci¿n se utiliza para estudiar el impacto global que una enfermedad puede producir en una poblaci¿n, como R0> 1 significar¿a que el n¿mero de personas infectadas aumentar¿ con respecto a la generaci¿n anterior, y R0 <1 significar¿a lo contrario, una disminuci¿n del n¿mero de infectados. El valor de R0 entonces se obtiene multiplicando el tiempo de infectividad medio de una persona por la tasa media de infecci¿n de un individuo en una poblaci¿n libre de enfermedad.Desde un punto de vista matem¿tico, sin embargo, este individuo infectado solitario en una poblaci¿n libre de enfermedad se considera una perturbaci¿n del estado libre de enfermedad, uno de los muchos posibles peque¿os cambios realizados en un estado de equilibrio. Entonces, dadas las ecuaciones diferenciales que regulan la din¿mica de estos modelos, el efecto general de cualquier perturbaci¿n en la evoluci¿n del sistema cuando est¿ en un estado de equilibrio se puede calcular. Dada una serie de ecuaciones de la din¿mica del sistema, podemos obtener la matriz jacobiana en el punto libre de enfermedad. Entonces, la obtenci¿n de los autovalores de esta matriz nos dar¿ las tendencias (cuando las perturbaciones realizadas son peque¿as) a aumentar o disminuir de los diversos tipos de alteraciones que se pueden hacer a este estado libre de enfermedad. Cuando los autovalores son negativos, el sistema reacciona disminuyendo las subpoblaciones que han subido conforme al autovector asignado a dicho autovalor, y aumentar las subpoblaciones que han disminuido, hasta llegar otra vez al estado libre de enfermedad. Por lo tanto, se puede decir que el estado de equilibrio es, por lo menos, localmente estable.El numero de reproducci¿n uno manifestaci¿n de todos los valores propios de la matriz jacobiana en el equilibrio. Considere un modelo SIR como en la secci¿n anterior con un muerto y tarifas un reci¿n nacido ¿ y ¿ respectivamente. La matriz Jacobiana caracter¿sticaEl papel del n¿mero de reproducci¿n en el estudio de la enfermedad no s¿lo se limitar¿ a hacer predicciones sobre el estado libre de la enfermedad. En condiciones R0 tambi¿n puede ser un par¿metro ¿til en el estudio de otros estados de equilibrio de las enfermedades, donde la definici¿n inicial hecha por los epidemi¿logos no se puede aplicar a las situaciones espec¿ficas.