La ecuación modificada de korteweg-de vries(mkdv) geométrica

Abstract

Esta tesis doctoral versa sobre un flujo geométrico de curvas planas determinado por la velocidad de las mismas. Si dicho flujo se escribe en términos de la curvatura de la curva, se obtiene una ecuación de tipo Korteweg-de Vries (KdV) pero con un potencial cúbico y que se conoce como la ecuación modificada de KdV (mKdV). El término cúbico puede ser atractivo o repulsivo en relación a las geometrías del plano subyacentes donde se desarrolla la ecuación, la euclídea o la hiperbólica, respectivamente. Las aportaciones de esta tesis son de dos tipos. Por un lado obtenemos resultados teóricos y por otro numéricos, siendo el nexo común entre ambos el encontrar fórmulas exactas de curvas cerradas planas(en el euclídeo) y simples que posean perturbaciones localizadas de tipo solución breather de mKdV. Para ello, hemos obtenido por un procedimiento más simple que el que había en la literatura las soluciones de mKdV tipo breather de media no nula de periodo infinito. Por otro lado, obtenemos resultados numéricos que apuntan fuertemente a la existencia de soluciones periódicas de mKdV de periodo finito de tipo breather y de media no nula. Una consecuencia inesperada de estos experimentos ha sido el encontrar numéricamente curvas cerradas que crean y destruyen auto-intersecciones en su evolución bajo el flujo de la mKdV. Finalmente hemos abordado el problema de la estabilidad orbital de las soluciones de mKdV de tipo solitón y con media no nula. Para ello hemos adaptado la teoría clásica de estabilidad orbital a nuestro problema y por otro damos los teoremas de regularidad necesarios para poder asegurar que el problema está bien propuesto en el sentido de Hadamard. En el resultado de estabilidad orbital que aportamos, cuantificamos el error en la velocidad de propagación de la solución perturbada respecto de la exacta. En el resultado de regularidad hemos adaptado los métodos existentes desarrollados por C.Kenig, G.Ponce y L.Vega (1993) por un lado y de J.Bourgain (1993) por otro, ya que la ecuación estudiada tiene un potencial no lineal compuesto por la suma de un término cuadrático y otro cúbico y cada uno fue tratado de forma diferente. Para ello hemos utilizado algunas ideas desarrolladas por T. Tao (2001).