Indices locales de matrices racionales y sistemas

Resumen

En términos de matrices polinomiales, el Teorema de asignación de polos de Rosenbrock establece condiciones necesarias y suficientes para la existencia de matrices con factores invariantes finitos e índices de Wiener-Hopf en el infinito prescritos, En esta memoria se generaliza este resultado prescribiendo también la estructura en el infinito para matrices racionales. Para ello, se definen los índices de Wiener-Hopf locales respecto a un polinomio irreducible. Para unificar ambos conceptos, índices locales e índices respecto de un contorno definidos en el plano complejo, se da una definición de índices de Wiener-Hopf respecto a un subconjunto de ideales maximales del anillo de polinomios con coeficientes en un cuerpo arbitrario. Se establece entonces una relación de equivalencia para la cual dichos índices locales constituyen un sistema completo de invariantes y estudiamos formas canónicas. Matrices polinomiales y sistemas lineales de control están estrechamente relacionados. En particular, los índices de Wiener-Hopf y factores invariantes de aquéllas son los índices de controlabilidad y los factores invariantes de los sistemas que realizan. Definidos para matrices estos invariantes en un sentido local, se trata de dar sentido a los correspondientes invariantes de sistemas en un sentido local y estudiar la relación entre los invariantes locales de los sistemas y sus representaciones polinomiales matriciales, así como la relación entre los invariantes locales y globales. En concreto, para matrices polinomiales y sistemas en un cuerpo arbitrario, se caracterizan las realizaciones locales de una matriz polinomial dada y las representaciones polinomiales locales de un sistema dado. Por último, caracterizamos la estructura finita de la matriz de estados de un sistema controlable con índices globales y locales prescritos.