Estudio numérico de ciertos flujos geométricos que desarrollan singularidades en tiempo finito/denbora finituan singulartasunak gartzen dituzten zenbait fluxu giometrikoren zenbakizko azterketa

Abstract

Hemos estudiado dos flujos geométricos; uno de curvas alabeadas y otro de curvas planas y algunos problemas relacionados con ellos, El primero es el denominado flujo de la binormal, Xt=cb siendo c la curvatura y b la binormal. Analíticamente se puede expresar como Xt=Xs###+Xss, con ###+ el producto vectorial usual. Es fácil ver que la longitud del vector tangente T=Xs permanece constante, por lo que suponemos TÎS2. T satisface la aplicación de Schrödinger, Tt=T###+Tss; esta última ecuación se puede rescribir como Tt=JDsTs, donde D es la derivada covariante y J es operador de multiplicación por i, haciendo uso de la estructura compleja de la esfera. Escrita, así, la ecuación admite una generalización inmediata, pudiendo variar tanto el dominio de definición como la imagen; hemos insistido en lo segundo, considerando también como espacio de llegada el plano hiperbólico H2, siendo la ecuación para T:Tt=T###Tss y para X:Xt=Xs###-Xss, con ###- definido como a ###- b=(a2b3-a3b2, a3b1-a1b3-(a1b2-a2b1)). Con TÎH2, probaremos teóricamente la existencia de sendas familias uniparamétricas de soluciones regulares para X y T que desarrollan singularidades en tiempo finito. Posteriormente, desarrollaremos varios métodos para llevar a cabo la simulación numérica de dichas soluciones, tanto en el caso con TÎS2, como en el caso con TÎH2, intentando reproducir la formación de la singularidad. El segundo flujo, conocido como el flujo de la ecuación de Korteweg de Vries, viene dado geométricamente por Xt=-ksn-0.5k2T, con k la curvatura. Dicho flujo posee una familia uniparamétrica de soluciones regulares que desarrolla una singularidad en forma de esquina, en tiempo finito. Desarrollaremos un método para calcular la evolución numérica de dichas soluciones, aproximando la formación de la singularidad, y veremos diversas propiedades de ellas.