Conjugacy classes of subgroups in finite p-groups

Abstract

Sea G un grupo, Entonces G actúa por conjugación sobre las clases de subgrupos no normales y subgrupos normalizadores. Si a=pn, se define l(a)=n. Denotando por v(G) el número de clases de conjugación de subgrupos no normales y por (G) el de clases de conjugación de normalizadores, en la tesis se estudia cómo se relacionan estos dos invariantes con otros invariantes, como pueden ser por ejemplo la clase de nilpotencia del grupo, 1(|G'|), 1(|G:Z(G)|) y el primo p. El trabajo está dividido en cuatro capítulos, de los cuales el primero es una recopilación de todas las herramientas necesarias para estudios posteriores. En el segundo capítulo se demuestra el resultado fundamental de que, si G es un p-grupo finito no Hamiltoniano y no cuaternio generalizado con 1(|G'|)=k , entonces v(G) mayor p(k-1)+1. También se consigue la igualdad v(G)=2(k-1), en los casos excepcionales anteriores. En el tercer capítulo se introducen dos nuevos invariantes para un grupo finito: G: (G)=1(|G'|)-1(expZ(G)) y k(G)=1(|G'|)-1(exp G/G'). Los resultados fundamentales de este capítulo dicen que si G es un p-grupo finito no abeliano y p un primo impar, entonces v(G)mayor p(G=-3)+2 y v(G)mayor p(k(G)-3)+2.. Por último, en el cuarto capítulo el interés se centra en una variación sobre las cotas inferiores anteriores, respecto al número de clases de conjugación (G) de normalizadores, donde en algunos casos se trabaja también con grupos infinitos.