Acotaciones en norma mixta para operadores direccionales y sobre hiperplanos

Abstract

El objetivo de la memoria es dar acotaciones en norma mixta para diferentes operadores con homogeneidad de tipo potencial, que generalilzan los potenciales de Riesz, En la primera parte se analizan operadores direccionales y los resultados que se obtienen dependen de la singularidad del potencial. Se distingue el caso de funciones radiales, en el que se demuestran resultados óptimos. Para funciones generales, los resultados óptimos se consiguen en un rango de valores condicionado por los resultados conocidos para operadores maximales direccionales; en todas las dimensiones se llega a cubrir un amplio rango de parametros que incluye al que corresponde a las transformadas de rayos X. En la segunda parte se generalizan los operadores anteriores definiéndolos sobre k-planos (subespacios de dimensión k). Cuando las función son radiales se obtiene una descripción completa de los resultados para todo valor de k. La clave del estudio realizado son unas desigualdades puntuales que se demuestran para operadores maximales asociados. Para operadores definidos sobre hiperplanos (k=n-1) también se considera el caso de funciones generales. Aquí los resultados obtenidos vuelven a ser parciales, aunque v.lidos en un amplio rango de parámetros. Se determina cuáles son los resultados esperados para la transformada de Radon que permitirían dar el rango óptimo en los demás casos.