Diseño geométrico de estructuras espaciales con formas libres mediante métodos cagd

Resumen

La presente tesis desarrolla una aplicación en la ingeniería. Se trata de la definición geométrica de estructuras espaciales de tipo malla y de tipo panel, mediante la aplicación de métodos de geometría computacional y de diseño geométrico asistido por computador. La ventaja fundamental que posibilita es la de diseñar una estructura tridimensional trabajando exclusivamente en un plano. Las estructuras espaciales se definen como aquellas estructuras en las que la distribución de fuerzas se realiza en las tres direcciones del espacio, y están formadas por un entramado de barras, en el caso de mallas, o por un ensamblaje de placas, en el caso de paneles. Ambos casos se materializan en un poliedro que se adapta a una determinada superficie tridimensional. Existen diversos métodos de diseño de estas estructuras, basados en las propiedades de la geometría subyacente, y que forman parte de la base técnica de este trabajo. Sin embargo esta tesis sigue una línea de investigación, dentro de la Universidad de Cantabria, que viene desarrollándose en el grupo de investigación EGICAD, y son en sus conclusiones y aportaciones donde mayormente se apoya esta tesis. Los diversos trabajos realizados en EGICAD han incorporado metodologías propias de la Geometría Computacional, para poder desarrollar nuevos métodos para el diseño de estructuras, especialmente de estructuras de tipo panel adaptadas a cuádricas elípticas. La Geometría Computacional es una disciplina dedicada al estudio de algoritmos para la resolución de problemas geométricos. Dos de ellos son fundamentales para este trabajo: la triangulación de Delaunay y el diagrama de Voronoi. Ambos son un tipo de subdivisión del plano. Además de ser unas estructuras geométricas íntimamente relacionadas, la triangulación de Delaunay y el diagrama de Voronoi, resulta que están ligadas con la representación de envolturas convexas a cuádricas elípticas. Esto condujo a la obtención de una metodología de trabajo para el diseño de estructuras espaciales que simplificaba notablemente el grado de complejidad del problema. De una partición del plano cualquiera, generada por un diagrama de Voronoi, se obtiene un único poliedro, cuyas caras son tangentes a una determinada cuádrica elíptica. Esta tesis introduce elementos del Diseño Geométrico Asistido por Computador, o sus siglas en inglés CAGD. Esta disciplina se dedica a la representación gráfica y numérica de elementos geométricos de forma eficiente y precisa. Un elemento del CAGD son las superficies RBS. Matemáticamente una RBS es la razón de dos polinomios de un determinado grado, u orden de la RBS. Este tipo de superficie es ampliamente utilizado en muchas aplicaciones de diseño por ordenador y modelado industrial, entre otras. Existe un método, dentro del propio CAGD, llamado Weighted Radial Displacement que relaciona un plano con una superficie Spline Racional de Bézier (Rational Bezier Spline, RBS). Esta idea también subyace en todo el trabajo de investigación realizado hasta ahora, y es la razón de su inclusión en ella. Además supone la introducción de superficies con la posibilidad de satisfacer diseños más complejos. Se han planteado así tres problemas principales: 1. Diseño de mallas espaciales adaptadas a superficies RBS de orden n 2. Definición de estructuras de parches de mallas de superficies RBS de orden n 3. Diseño de estructuras de tipo panel adaptadas a superficies RBS de orden dos. Estos problemas han sido tratados para poder definir completamente la estructura dentro de un plano, trabajando de forma más intuitiva que usando las tres direcciones espaciales. Para el primer problema (las mallas espaciales) se puede definir a partir de cualquier entramado de segmentos en un plano, una estructura espacial adaptada a una superficie RBS de cualquier orden. Por parte del diseñador se deben definir una serie de parámetros que concretarán la forma deseada para la estructura. Para adaptarse a una RBS de orden n tendremos 4 + (n+1)(n+2)/2 grados de libertad, o parámetros a definir. El segundo problema permite definir estructuras adaptadas a condiciones geométricas más complejas. Una estrategia es la de definir una superficie de orden alto. Al tener muchos grados de libertad es posible adaptarla a un mayor número de condiciones. Sin embargo, un número alto de parámetros hace que la superficie sea incómoda de manejar o plantear por parte del diseñador. Pero existe una alternativa, consistente en la unión de sucesivos parches, cada uno de los cuales se adapta o resuelve una parte del dominio, y en conjunto, todos los parches resuelven el problema de diseño. La ventaja es que se usa un número de parámetros menor. Si se utilizan superficies más sencillas, o de orden menor, se comprende y se prevé con mayor facilidad el resultado final, por parte del diseñador. Matemáticamente debe resolverse un problema de continuidad en una superficie definida a trozos. Esta tesis da solución a un problema de continuidad de tipo C0 y/o C1. Valor de la función, y tangencia, respectivamente. En el tercer tipo de problema, las superficies RBS de orden dos representan cualquier tipo cuádrica, ya que la razón de dos polinomios de grado dos es una cuádrica. En trabajos anteriores ya se había resuelto el problema de estructuras de tipo panel para cuádricas elípticas, haciendo uso de su relación con los diagramas de Voronoi. Ahora, en un caso más general, la estructura o partición del plano que aparece no es el diagrama de Voronoi. Aparece un nuevo problema dentro del ámbito de la Geometría Computacional que esta tesis no ha resuelto completamente. Sin embargo los resultados obtenidos permiten ofrecer soluciones y ampliar el catálogo de estructuras de panel que pueden realizarse a cuádricas. Desde el punto de vista del interés de la ingeniería, además de metodologías para el diseño de geometrías de estructuras espaciales, se ofrece como resultado final la implementación de aplicaciones gráficas, materializando la aplicación del conocimiento generado en producción de modelos gráficos digitales de estructuras espaciales. Una representación gráfica correcta es particularmente esencial en este trabajo.