Orbifolds and geometric structures

Abstract

En esta tesis estudiamos estructuras geométricas en orbifolds, y su relación con estructuras geométricas en variedades. Concretamente, estamos interesados en la relación entre dichas estructuras en orbifolds y otras estructuras geométricas en variedades asociadas a estos. Un ejemplo de esta relación es la resolución simpléctica de singularidades de orbifolds, en la cual se asocia una variedad simpléctica (la resolución) a un orbifold simpléctico. El problema de encontrar una resolución simpléctica de un orbifold es una extensión natural a la categoría simpléctica del problema clásico de resolución de singularidades en geometría algebraica. Aparte del interés intrínseco de dicho problema, la resolución simpléctica de orbifolds también aporta un método muy útil para construir variedades simplécticas a partir de orbifolds simplécticos. Con esta última idea en mente, desarrollamos un método para resolver cierto tipo de orbifolds simplécticos, que llamamos orbifolds con isotropía homogénea. Este tipo de orbifolds no abarca a los orbifolds en toda su generalidad, pero sí sirven para construir variedades con interesantes propiedades. Otro ejemplo de la relación de estructuras geométricas en variedades y en orbifolds viene de las geometrías Sasakiana y de K-contacto. Hay, en efecto, una fuerte relación entre estructuras de K-contacto (Sasakianas) en variedades (2n+1)-dimensionales, y estructuras casi-Kahler (Kahler) en orbifolds 2n-dimensionales. Básicamente, las primeras se obtienen como fibrados de Seifert de círculos sobre las segundas. De esta manera, el problema de encontrar variedades de K-contacto que no admitan estructuras Sasakianas es equivalente a un problema sobre hallar orbifolds simplécticos que no admitan estructuras Kahler y cumpliendo ciertos requisitos. En esta tesis explotamos este hecho para la construcción de una variedad de K-contacto que no admite una estructura Sasakiana semi-regular y con primer grupo de homologia nulo. In this thesis we study geometric structures on orbifolds. Our main interest lies in the relationship between such structures in orbifolds and corresponding geometric structures of associated manifolds. One instance of this is the symplectic resolution of orbifold singularities in which we associate a symplectic manifold (the resolution) to a symplectic orbifold. Resolution of symplectic orbifolds is a natural extension to the symplectic category of the classical problem of resolution of singularities in algebraic geometry. Apart from the intrinsic interest of the problem of resolution of singularities in symplectic geometry,resolution of symplectic orbifolds also gives a powerful method to construct symplectic manifolds starting from symplectic orbifolds. With this idea in mind, we develop a method to resolve a certain type of symplectic orbifolds, which we call homegenous isotropy orbifolds. These do not cover orbifolds in full generality, but they suffice to construct interesting manifolds. Another instance of the interplay between geometric structures of orbifolds and manifolds comes from Sasakian and K-contact geometry. There is a strong relationship between K-contact (Sasakian) structures on (2n+1)-manifolds, and almost-Kahler (Kahler) structures on 2n-orbifolds. The former are basically Seifert circle bundles over the latter. In this way, the problem of finding K-contact non-Sasakian manifolds can be translated to a corresponding problem of finding symplectic non-Kahler orbifolds satisfying some specific properties. We exploit this fact in our construction of a K-contact manifold with first homology trivial and with no semi-regular Sasakian structure.