Analisis de Fourier en el toro infinito-dimensional

Abstract

Se presentan en esta Memoria algunos resultados originales de análisis armónico para funciones definidas en el toro infinito, el grupo topológico compacto consistente en el producto cartesiano de una familia numerable de toros 1-dimensionales, con su correspondiente medida de Haar. El primer capítulo, de generalidades, se cierra presentando ejemplos de funciones infinitamenle derivables y dependientes de infinitas variables cuya serie de Fourier diverge absolutamente. En el segundo capítulo se presentan, en primer lugar, resultados inmediatos de convergencia, a.e. y en p-norma, y de sumabilidad Cesàro de las series de Fourier en el toro infinito aplicando los teoremas de Jessen. En segundo lugar se presenta una descomposición de tipo de Calderón-Zygmund respecto de cierta familia de intervalos en el toro infinito según Rubio de Francia, y un resultado negativo, tipo de Jessen, de diferenciación de integrales respecto de cierta base asociada con aquella familia. Un resultado complementario es que el toro infinito con la medida de Haar y las métricas usuales no es de tipo homogéneo. El tercer capítulo está dedicado al estudio de espacios de norma mixta en el toro infinito que generaliza la definición usual de Benedek y Panzone en el toro finito-dimensional. Nuestra definición, debida originalmente a Rubio de Francia, es diferente de la que ha presentado la literatura rusa (Bendikov, Pavlov, Skorikov) en los 80's, pero de ésta es de la que tomamos las pautas generales para nuestro trabajo. Se establece que los espacios L-(barra)p de norma mixta son retículos de Banach, y se dan resultados de dualidad y de interpolación de tipo Riesz-Thorin. Un resultado complementario es el de los espacios L-(barra)p como espacios de Banach homogéneos en el sentido de Katznelson. Finalmente se da una definición de espacios de norma mixta débiles y se tantea el estudio de la correspondiente condición de Kolmogorov y de los posibles teoremas de interpolación de tipo Marcinkiewicz. En el cuarto capítulo se estudia la convergencia en norma (teoremas de tipo Marcel Riesz) de ciertas familias de sumas parciales de las series de Fourier, tanto en los espacios L-p usuales como en los L-(barra)p de norma mixta, así como algún resultado de convergencia en casi lodo punto. Todo ello en base al trabajo expuesto por Rubio de Francia en el artículo "Convergencia de series de Fourier de infinitas variables", Publ. Sec. Mat. Univ. Autònoma Barcelona 21 (1980), 237-241. En la Conclusión final se presentan diversos problemas que quedan abiertos para un posible estudio posterior.