Extensión de la Teoría de los Continuos en Ausencia de Compacidad

Resumen

Esta Memoria es una contribución al estudio de las propiedades topogeométricas de los continuos generalizados; es decir, espacios métricos separables, conexos y localmente compactos. La primera definición de continuo se remonta a los orígenes de la topología, cuando aún era denominada �Analysis Situs�. Fue Cantor [11] en 1883 quien definió un continuo como un subespacio euclídeo C ? Rn perfecto (esto es, sin puntos aislados) tal que para dos puntos cualesquiera a y b y para todo � > 0 existe un número finito de puntos a = p0, p1, . . . , pn = b tales que la distancia entre dos consecutivos sea menor que �. Es interesante observar que la definición original de Cantor no hacía referencia a la compacidad. De hecho esta propiedad aún no era bien conocida por entonces ya que el primer estudio de la compacidad, debido a E. Borel, data de 1894. La compacidad en su forma actual fue introducida por P. Alexandro. y P. Uryshon en 1928. En presencia de la compacidad la definición de Cantor resulta ser equivalente a la definición actual de conexión para los espacios métricos. En los años 20 la escuela polaca de topología, compuesta entre otros por W. Sierpin'ski, S. Mazurkiewicz, B. Knaster y K. Kuratowski, dió un impulso decisivo a la teoría de continuos en el ambiente compacto, quedando establecida prácticamente como definición canónica de un continuo la de un espacio métrico, compacto y conexo. Como referencia histórica sobre la teoría de continuos puede consultarse a J. J. Charatonik [15] y W. T. Ingram [40].