Engel elements in groups of automorphisms of rooted trees

Résumé

Zuhaitz d-adiko errotuen automorfismoen taldeak sakonki aztertuak izan dira azken urteetan, propietate interesgarriak dituzten taldeen iturri aberatsa baitira. Esate baterako, horien azpitalde asko Burnsideren Problema Orokorraren kontra adibideak dira. Engelen taldeen alorrean, Burnsideren Problema Orokorraren analogoa Engelen taldeak lokalki nilpotenteak diren edo ez aztertzea da. Tesi honetan, Engelen baldintzaren inguruan izan diren azken emaitzak azalduko ditugu eta Engelen elementuak aztertuko ditugu zuhaitz errotuen automorfismoen taldeen familia berezi batzuetan: talde fraktaletan eta talde adarkatuetan esaterako. Lehenik, Bartholdik hasi zuen Grigorchuken taldearen Engelen elementuen deskribapena amaituko dugu. Ondoren, talde fraktalen eta talde (ahulki) adarkatuen taldeak kontsideratuko ditugu. Talde fraktalei dagokienez, bihurdura gabeko abelianizazioa badute Engelen elementu ez-tribialik ez dutela frogatuko dugu. Bestalde, ikuspuntu guztiz berri batekin, bihurdura taldeak ez diren talde adarkatuek Engelen elementu ez-tribialik ez dutela ere ikusiko dugu eta, gainera, ezkerreko Engel elementuen inguruan emaitza ezberdinak frogatuko ditugu talde adarkatua bihurdura taldea denean. Honela, talde ahulki adarkatuek ezkerreko Engelen elementu bornatu ez-tribialik ez dutela frogatuko dugu eta, baldintza batzuk gehituz, eskuineko Engelen elementuekin gauza bera gertatzen delaikusiko dugu. Emaitza guzti hauek, talde fraktalen eta talde (ahulki) adarkatuen familian aurki daitezkeen talde berezi batzuetan aplikatuko ditugu, besteak beste, Basilica taldean, (multi-)GGS-taldeetan, Hanoi Dorrearen taldean, automorfismo finitarioen taldean eta AutT talde osoan.