Spacelike submanifolds, their umbilical properties and applications to gravitational physics.

Résumé

Hasta aproximadamente el siglo dieciocho los científicos eran expertos tanto en los aspectosmatemáticos como en los aspectos físicos de su investigación y de sus descubrimientos.Cabe sostener que muy probablemente estos no distinguían mucho entre la físicateórica y la física experimental, por ejemplo, puesto que a menudo eran al mismo tiempomatemáticos, astrónomos, geómetras, ingenieros, físicos e incluso, a veces, filósofos. Apartir del siglo diecinueve las fronteras que habrán de delimitar estos campos comienzana ser más definidas y desde el siglo veinte matemáticos y físicos, por lo general, hantrabajado en dos áreas de investigación separadas en la ciencia.Hoy en día, debido a la rápida especialización de los campos científicos y al nacimientode nuevas disciplinas, la distancia entre las matemáticas y la física se ha hecho aún másgrande. En particular, el uso de diferentes lenguajes ha empezado a impedir que los científicosse comuniquen entre ellos y compartan sus resultados. Aun así, la historia de laciencia nos ha mostrado cómo el intercambio de conocimiento entre estos dos campos, lasmatemáticas y la física, ha sido clave en el pasado para superar obstáculos, para producircambios de paradigma, para abrir nuevas perspectivas y para impulsar una revolucióncientífica.Dos ejemplos destacables de este proceso en estas dos ramas científicas han sido losdesarrollos producidos por la teoría de la mecánica cuántica y por la teoría de la relatividadgeneral. Los avances requeridos por la mecánica cuántica en el análisis funcional y lano conmutatividad de los operadores que representan los observables cuánticos, han conducidoa un campo completamente nuevo, y ahora independiente dentro de las matemáticasllamado geometría no conmutativa. Por lo que concierne a la relatividad general, laequivalencia de la curvatura con el campo gravitacional, que representa uno de los fundamentosde la teoría, es una manifestación evidente de la conexión profunda entre lageometría diferencial y la física gravitacional. En ambos casos, las matemáticas proveena los físicos de bases sólidas y marcos para construir una nueva teoría física, mientras quela física motiva e indica a los matemáticos el camino hacia áreas inexploradas y problemasirresolutos.Geometría y física gravitacionalEl marco matemático de la teoría de la relatividad general y de la mayoría de las teoríasgravitacionales está dado por la geometría Lorentziana. Un espacio-tiempo está modeladopor una variedad LorentzianaMy las leyes físicas que describen el Universo a grandesescalas son expresiones tensoriales que dependen del tensor de Riemann de M. Todoslos objetos y los conceptos relevantes en gravitación poseen un equivalente geométrico.Por ejemplo, las geodésicas temporales y luminosas representan las trayectorias de laspartículas materiales y de los fotones, respectivamente; y la incompletitud geodésica temporalo luminosa de M implica bajo ciertas condiciones la presencia de singularidadesen el espacio-tiempo. En una singularidad del espacio-tiempo las cantidades de curvaturaviiviiipueden divergir y los agujeros negros, predichos por la teoría, esconden estas singularidadesclásicas dentro de sus horizontes.Las matemáticas que se necesitan en física gravitacional incluyen, por ejemplo, ecuacionesen derivadas parciales para analizar las ecuaciones de campo de Einstein, el análisisgeométrico para estudiar las ecuaciones de ligadura y para resolver problemas de estabilidady el análisis numérico para aproximar aquellas soluciones que no se pueden obteneranalíticamente. Dentro de la geometría diferencial, la teoría de subvariedades provee lasherramientas adecuadas para abordar algunos problemas importantes que involucran tantolas singularidades del espacio-tiempo como el colapso gravitacional.Teoremas de singularidades Los teoremas de singularidades demostrados en los añossesenta por Roger Penrose y Stephen Hawking [66, 34, 85] afirman que la formaciónde singularidades es inevitable, si se asumen condiciones razonables sobre la curvaturadel espacio-tiempo, sobre la geometría extrínseca de ciertas subvariedades y sobre la estructuracausal de la variedad Lorentziana. En particular, la existencia de subvariedadesatrapadas en el espacio-tiempo es un requisito clave en la formulación original de los teoremasde singularidades, así como en sus más recientes generalizaciones [29]. Matemáticamente,una subvariedad atrapada es una subvariedad espacial cuyo campo de curvaturamedia es temporal en todas partes.Colapso gravitacional El análisis del colapso gravitacional está basado, desde un puntode vista geométrico, en el estudio de los horizontes de los agujeros negros [2]. El horizontede un agujero negro está modelado por una subvariedad de dimensión tres cuyas seccionesson superficies de dimensión dos cerradas y marginalmente atrapadas. Matemáticamente,una superficie marginalmente atrapada es una superficie espacial cuyo campo decurvatura media es luminoso y futuro en todas partes (hay también una versión dual parael pasado). Cada una de estas superficies marginalmente atrapadas representa el ¿borde¿de la región que contiene el agujero negro en un instante de tiempo dado. Su evolucióna lo largo del tiempo determina el carácter causal del horizonte y, por consiguiente, ladinámica del agujero negro correspondiente.Como ha sido implícitamente mencionado, la formulación de los teoremas de singularidadesy la descripción geométrica de un colapso gravitacional no sería posible sin elempleo de las subvariedades espaciales y del estudio de sus propiedades extrínsecas.Subvariedades espacialesSean S una subvariedad espacial y ¿ un campo vectorial normal a S, entonces es posibledescribir la evolución inicial de S a lo largo de la dirección extendida por ¿ por el medio dedos cantidades llamadas expansión y cizaña (¿shear¿) de S a lo largo de ¿. La expansiónda información sobre el cambio de volumen de S (de área si S es una superficie) mientrasque la cizaña da información sobre el cambio de ¿forma¿ de S manteniendo el volumenfijado. Si la expansión se anula, entonces el volumen de S a lo largo de esa direcciónResumen ixparticular no cambia inicialmente. En este caso se dice que S es expansion-free. Sila cizaña se anula entonces la forma de S no cambia inicialmente y la subvariedad esllamada shear-free.El concepto de ser expansion-free a lo largo de una dirección normal está estrictamenterelacionado con la propiedad de una subvariedad de ser marginalmente atrapada.De hecho, la primera definición de superficie atrapada fue dada en términos de las expansionesluminosas. Encontrar subvariedades expansion-free en la literatura de físicaes muy común y, en particular, en relación a los horizontes de agujeros negros. Por otraparte, el concepto de ser shear-free es también común en la literatura de física pero hatenido mucha más atención entre los matemáticos. Sin embargo, la terminología usada esdiferente: en la literatura de matemáticas las variedades shear-free son llamadas umbilicales.Subvariedades umbilicales y horizontes de agujeros negros Las subvariedades umbilicalesno son usadas explícitamente en el análisis de las singularidades de espacio-tiemposy del colapso gravitacional. Aun así, aparecen a menudo cuando se considera el conceptoclásico de horizonte de sucesos [60, 99] y también cuando se consideran horizontes deKilling y horizontes sin-expansión [2]. Los horizontes más comunes y más estudiados enla literatura, que son los horizontes de sucesos en el espacio-tiempo de Schwarzschild yen el espacio-tiempo de Kerr, tienen la siguiente propiedad: las superficies marginalmenteatrapadas que folian la hypersuperficie de dimensión tres que representa el horizonte sonumbilicales. En particular, son umbilicales a lo largo de una dirección luminosa. Lapregunta natural de si este tipo de foliación puede caracterizar horizontes más generalesde agujeros negros no-estacionarios ha motivado la investigación llevada a cabo en [85]primero, y en esta tesis, luego.En [85] el autor caracteriza superficies espaciales umbilicales en espacio-tiempos dedimensión cuatro en términos de las propiedades de conmutación de los operadores deWeingarten. Los resultados que presenta son específicos para el caso de codimensióndos. El trabajo de esta tesis empieza con buscar una versión generalizada a la condiciónde umbilicidad presentada en [85]: se deja que la dimensión y la codimensión de la subvariedady la dimensión y la signatura de la variedad ambiente sean arbitrarias. En unasegunda fase, la condición de umbilicidad se aplica a espacio-tiempos que tienen interésdesde un punto de vista físico. El objetivo es, primero, encontrar ejemplos explícitos defamilias de superficies espaciales umbilicales y, luego, probar la idea de foliar los horizontesde agujeros negros por el medio de superficies espaciales que son al mismo tiempomarginalmente atrapadas y umbilicales.Resumen de los resultadosEn esta tesis se han estudiado las propiedades umbilicales de las subvariedades espaciales.Se han presentado algunas caracterizaciones que han sido aplicadas, en particular, a lasórbitas de grupos de movimientos conformes. Se ha dado una condición suficiente para laexistencia de puntos focales a lo largo de geodésicas temporales y luminosas en espaciosxLorentzianos productos de tipo warped. Esta ha sido usada para derivar algunos teoremasde singularidades. Los resultados han sido aplicados a varios espacio-tiempos que tienenrelevancia en la física gravitacional.A continuación un resumen de los resultados principales de la tesis, divididos porcapítulos.Caracterizaciones de subvariedades espaciales umbilicales En el capítulo 3 se da unteorema de caracterización para subvariedades espaciales umbilicales de dimensión arbitrarian y codimensión k inmersas en una variedad semi-Riemanniana. Que la codimensiónsea arbitraria implica que la subvariedad puede ser umbilical con respecto a unsubconjunto de las direcciones normales. Esto lleva a la definición de espacio umbilicaly al estudio de su dimensión.La parte sin traza de la segunda forma fundamental, llamada total shear tensor enesta tesis, juega un papel central en los teoremas de caracterización. Nos permite definirobjetos ¿shear¿ (operadores shear, tensores shear y escalares shear) que determinan laspropiedades umbilicales de la subvariedad espacial con respecto a un campo vectorial normaldado. En caso de que haya k¿1 direcciones umbilicales linealmente independientes,el total shear tensor determina un campo vectorial normal, llamado G, que es ortogonal alespacio umbilical. Cuando la codimensión es k = 2 es posible comparar G con el campode curvatura media y encontrar algunas analogías.El teorema de caracterización es un instrumento muy útil para determinar si una subvariedadespacial dada tiene un espacio umbilical no trivial. Si la dimensión y la codimensiónde la subvariedad son ambas dos, por ejemplo, es suficiente calcular el conmutadorde dos operadores cualesquiera de Weingarten: si se anula, entonces el espacio umbilicaltiene dimensión uno por lo menos.Aplicación del teorema de caracterización a las órbitas de un grupo de movimientosconformes Dado un grupo de movimientos conformes G que actúa sobre una variedadsemi-Riemanniana y dada una órbita S, es posible aplicar los resultados de caracterizacióndel capítulo 3 para encontrar condiciones necesarias y suficientes sobre S para que tengaun espacio umbilical no trivial.Si el subgrupo de isotropía de G es trivial, entonces la condición umbilical dependede los productos escalares fij := ¯g(Vi, Vj), donde {V1, . . . ,Vn} es un (sub)conjunto decampos vectoriales de Killing conformes generadores de G. Si el subgrupo de isotropíade G es no trivial, sostenemos que, bajo hipótesis específicas, es posible demostrar quela condición umbilical se satisface automáticamente de manera que el espacio umbilicales no trivial. Las hipótesis dependerán de la codimensión k de S, de la dimensión D delsubgrupo de isotropía y de los rangos R(a) de las matrices A(a) que están definidas entérminos de las constantes de estructura de G (expresión (4.22)).Teoremas de singularidades en espacios Lorentzianos producto de tipo warped Enel capítulo 5 se considera un producto warped Lorentziano M = M ¿f Y y se analizaResumen xiuna clase particular de subvariedades espaciales S. Se presenta una condición suficienteque permite demostrar, por un lado, la existencia de puntos focales a lo largo de geodésicasnormales a S temporales o luminosas y, por otro lado, la incompletitud geodésicaluminosa deMbajo condiciones adicionales.Asumiendo que se puede dividir la inmersión como S !¿!M, donde ¿ es M ¿{q} o {q}¿Y, la condición de Galloway-Senovilla [29] se puede expresar en términosde la función warped f y del tensor de Riemann de M o Y solamente. Esto significaque, por ejemplo, para demostrar los teoremas de singularidades es posible restringirse alestudio únicamente de una de las dos variedades que definen el producto warped, en vezde considerar el producto warped mismo.La condición encontrada se ha aplicado a situaciones específicas, como curvatura seccionalpositiva y constante, espacios de Einstein o Ricci-flat y unos subcasos en términosde la codimensión de S. Se ha hecho lo mismo en productos directos (f = 1).Ejemplos explícitos de subvariedades umbilicales en la física gravitacional En laprimera parte del capítulo 6 los resultados de caracterización presentados en el capítulo 3han sido aplicados al espacio-tiempo de Kerr, al de Robinson-Trautman y al de Szekeres.Para cada una de estas variedades Lorentzianas de dimensión cuatro, ha sido seleccionadauna familia de superficies espaciales y, usando la condición de umbilicidad para el cason = 2 y k = 2, han sido determinadas aquellas superficies de la familia que poseen unespacio umbilical no trivial. Además, han sido determinadas las que son marginalmenteatrapadas. En la segunda parte del capítulo 6, los resultados del capítulo 4 han sidoaplicados a espacio-tiempos que admiten un grupo de movimientos de dimensión dos otres, y también a los que admiten un grupo de movimientos de dimensión cuatro queactúa sobre órbitas de dimensión tres. En los primeros han sido determinados los tubosmarginalmente atrapados; en los segundos ha sido estudiada la presencia de un subgrupode isotropía no trivial, para mostrar la dependencia entre las funciones fij .