Longitudes de clases de conjugación grados y ceros de caracteres de grupos finitos

Résumé

En esta memoria estudiamos cómo ciertas propiedades de las longitudes de las clases de conjugación de un grupo finito, los grados de sus caracteres complejos irreducibles y los ceros de los mismos influyen en la estructura del grupo, Así mismo, encontramos algunas fuertes relaciones existentes entre estos tres conceptos. En el segundo capítulo estudiamos grupos G cuyo conjunto de grados de caracteres es cd(G) = (1,)G: Z(G)1/2). Dichos grupos son caracterizados de varias maneras, tanto en términos de clases de conjugación, de ceros de caracteres y, sobre todo, de subgrupos normales. En el tercer capítulo estudiamos los conjuntos de potencias de p que acotan la clase de nilpotencia de un p-grupo con dicho conjunto como el conjunto de grados de caracteres, obteniendo conjuntos que acotan la clase de cardinal grande. En el cuarto capítulo probamos que no existen relaciones entre los cardinales de los conjuntos de grados caracteres y de longitudes de clases de conjugación de un p-grupo, resultado algo sorprendente habida cuenta las multiples relaciones entre propiedades de grado de caracteres y de longitudes de clases de conjugación. En el quinto capítulo vemos como en algunos casos se puede calcular el conjunto de grados de caracteres de algunos grupos, resultados estos que demuestran la utilidad práctica de conocer propiedades estructurales de un grupo a partir de propiedades de los grados de sus caracteres. En el sexto capítulo obtenemos información local sobre lso subgrupos de Sylow de un grupo a partir de alguna propiedad de los grados o los ceros de los caracteres de un grupo arbitrario G. Por último, en el septimo capítulo estudiamos grupos con dos longitudes de clases de conjugación de p-elementos y, entre otras cosas, demostramos que dichos grupos necesariamente son resolubles.