The null penrose inequality and the shell version in minkowski

Résumé

La desigualdad de Penrose (Penrose, 1973) establece una cota inferior para la masa total de espacio-tiempos asintóticamente planos cuyo contenido material es razonable (en el sentido de que satisface la llamada condición de energía dominante) y que poseen una superficie atrapada. La desigualdad establece que el contenido energético total ha de ser mayor que una cantidad positiva definida a partir del área de dicha superficie. Ésta no sólo es un problema físico interesante en sí, sino que pone a prueba la validez de la conjetura de la censura cósmica débil formulada por Penrose en 1969, y que establece que las sigularidades que surgen en procesos de colapso gravitatorio han de estar cubiertas por un horizonte de sucesos. El objetivo de esta tesis doctoral es estudiar la desigualdad de Penrose en el caso luminoso, es decir, aquellos casos en que la superficie atrapada genera un cono de luz pasado que se extiende de manera regular hasta infinito pasado luminoso. La desigualdad de Penrose en este caso involucra la demonimada masa de Bondi del espacio-tiempo. Este contexto tiene interés, además de por ser el más sencillo compatible con un proceso de colapso realista, porque incluye como caso particular la construcción originalmente propuesta por Penrose y que consiste en una capa delgada de materia que se propaga a la velocidad de la luz en el espacio-tiempo de Minkowski. En este caso la desigualdad de Penrose se convierte en una desigualdad geométrica para superficies espaciales convexas (más precisamente "espacio-temporalmente convexas") en el espacio-tiempo de Minkowski. Esta situación particular, pero de especial interés, es objeto de estudio pormenorizado en esta tesis doctoral. La desigualdad de Penrose en ese caso se denomina "desigualdad de Penrose para capas". El primer método utilizado para abordar la versión para capas es la proyección de superficies de codimensión dos y espaciales en espacio-tiempos estáticos (en particular en el espacio-tiempo de Minkowski, que es nuestro objetivo primario en la primera parte de la tesis. Dicha proyección fue propuesta por Gibbons aunque implementada de forma errónea. Para implementarla debemos utilizar de forma exhaustiva la geometría de subvariedades en ambientes pseudo-Riemannianos , así como las propiedades que tienen los vectores de Killing integrables y, en particular sus hipersuperficies espaciales ortogonales, que son sobre las cuales se realiza la proyección. En esta tesis reescribimos la desigualdad de Penrose para capas en función de la geometría de la superficie proyectada verticalmente y la probamos en caso de que la proyección es convexa en el sentido Euclideo usual. En segundo lugar analizamos otra proyección completamente natural en el espacio-tiempo de Minkowski y que consiste en relacionar la geometría de una superficie espacial arbitraria embebida en la hipersuperficie luminosa en términos de la función tiempo evaluada sobre la superficie y en términos de la superficie bidimensional espacial que se obtiene al intersecar la hipersuperficie luminosa con el espacio tridimensional definido por el origen de tiempos (notemos que dicho origen se puede situar donde mejor convenga para realizar el cálculo). La condición de que la superficie luminosa se extienda al infinito y esté libre de cáusticas se traduce en el hecho de que la superficie bidimensional espacial a tiempo constante debe ser convexa (es decir, que contiene íntegramente todas las rectas que unen dos puntos cualesquiera en su interior). La geometría de superficies convexas se puede describir completamente mediante una única función definida sobre la esfera y que se denomina función soporte. En consecuencia , la geometría de la superficie original se puede codificar completamente en términos de dos funciones en el esfera; una función tiempo y la función soporte. Dado que la desigualdad de Penrose para capas en Minkowski involucra en último término solamente cantidades geométricas en la superficie, seremos capaces de convertir dicha desigualdad en una desigualdad geométrica para dos funciones definidas sobre la esfera. En nuestro trabajo obtenemos una amplia clase de superficies que satisfacen la desigualdad para capas. El tercer ingrediente que desarrollamos es el análisis del comportamiento asintótico de objetos geométricos definidos en superfices espaciales y que tienen interpretación de masa cuasi-local. La idea es que tales objetos pueden usarse para interpolar entre los dos términos de la desigualdad de Penrose. Para ello, es necesario que se satisfagan ciertas propiedades de monotonicidad y que en los extremos de la interpolación, el objeto geométrico en cuestión sea, respectivamente mayor que el radio (de área) de la superficie inicial y menor que la energía de Bondi en el infinito. Comprobar si la condición inicial se satisface es, en general, sencillo, pero estudiar si su comportamiento en el infinito tiene relación con la energía de Bondi resulta ser mucho más delicado. Utilizamos para la relación entre la superficie inicial con el infinito foliaciones de carácter general y estudiamos en detalle la relación geométrica que existe entre una sección cualquiera de la superficie luminosa y la geometría asociada a una foliación de referencia. Una propiedad general de las hipersuperficies luminosas asintóticamente planas es que todo corte espacial se puede describir mediante un grafo sobre una foliación de referencia. Esto permite usar técnicas analíticas para relacionar ambas geometrías. Uno de los principales resultados de la tesis es la obtención del límite en infinito del funcional masa de Hawking cuando es evaluado sobre tales foliaciones de carácter general en términos de la geometría de la foliación de referencia. Asimismo obtenemos una desigualdad tipo Penrose que se satisface para cualquier sección transversa de la hipersuperficie luminosa, y que da una cota superior para el área de la misma. La particularización de este resultado en Minkowski nos permite obtener una desigualdad tipo-Penrose para capas. Asimismo desarrollamos un método para abordar la desigualdad general luminosa que llamamos método del área renormalizada, y que puede ser aplicado a espacio-tiempos de carácter general.